Integracion doble

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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ EN EL ESTADO DE CAMPECHE



INGENIERIA INDUSTRIAL

TERCER SEMESTRE

MATEMÁTICAS III

ING. JULIO CÉSAR PECH SALAZAR

Subtema 5.2

Definición de integral doble: áreas y volúmenes.

Material de apoyo

Clave de la asignatura: ACM-0405
UNIDAD NOMBRE TEMAS
5 Integrales múltiples

5.2 Definición de integral doble: áreas yvolúmenes.

DEFINICION DE INTEGRAL DOBLE: AREAS Y VOLUMENES

Se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una funciónF(x, y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x, y); esto es,
F(x, y)= 1, o F(x, y)= y,
Cuando se trate de calcular el área, o el momento del área respecto al eje x.
La notación
"A" F(x, y)dA
Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x, y). Imaginémonos la región A cubierta poruna red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,
A=xy=yx
algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquella que se haya parcialmente dentro. Concretamente, fijemos laatención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden
A1, A2…….An
sea (xk, yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite

Existe, y se expresapor la notación utilizada en la ecuación "A" F(x, y) dA


La integral doble "A" F(x, y) dA se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en
z= F(x, y)
El término
F(xk, yk) Ak
Representa una aproximación razonable del volumen de aquellaporción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación A=xy=yx nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite A1, A2…….An proporciona un volumen exacto.
La utilidad de este concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, A1, A2…….An para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Peroafortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo u otra de las siguientes integrales iteradas:
"A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx
Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son igualesentre sí y a la integral doble "A" F(x, y)dA, con tal que la función sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos.
Vamos a explicar ahora el significado de la notación
"A" F(x,y) dy dx
El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en función resultante entre loslímites y=f1(x) e y=f2(x);
para integrar el resultado de a) respecto a x entre los límites x=a y x=b.
Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:

Considerando x como constante se hace la integración respecto a y.
Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del...
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