Integracion por partes

Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora

I.

INTEGRACIÓN POR PARTES.
Si la integración de una función no es posible encontrarla por alguna de las
fórmulas conocidas, es posible que se pueda integrar utilizando el método
conocido como integración por partes. Este método tiene como base la integración
de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones.
Sean u=u(x) yv=v(x). Entonces

duv udv + vdu
=
o

udv uv − vdu
=
Al integrar ambos miembros de esta ecuación obtenemos
=
∫ udv

uv − ∫ vdu

(1.1)

Como se puede ver la Integración por partes es la contraparte de la regla del
producto de la diferenciación, ya que el integrando en cuestión es el producto de
dos funciones (por lo general). En resumen éste es el procedimiento:
Para aplicar lafórmula (1.1) en la práctica, se separa el integrando en dos partes;
una de ellas se iguala a u y la otra, junto con dx a dv. Por eso se llama integración
por partes. Es conveniente considerar los dos criterios siguientes.
(a) La parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable.
(b) La ∫ vdu no debe de ser más complicada que ∫ udv
Luego se aplica la fórmula de integración por partes. Esteproceso convierte el
integrando original - que no se puede integrar - en un integrando que si se puede
integrar. Tan claro como el agua, ¿verdad?
Vas a aprender la técnica muy rápido si utilizas el acrónimo LIATE y el método del
ejemplo de abajo:
Para seleccionar la función u, sólo tienes que ir hacia abajo en la lista del
acrónimo, la primera función de la lista que coincida con una de tuintegrando es
la función u. El acrónimo que te ayudará a escoger tu función u es el siguiente:
Logarítmica (como Lnx)
Inversa trigonométrica (como arcsenx)
Algebraica (como x3, o 2x+10 )
Trigonométrica (como sen2x)
Exponencial (como 72x, o e2x)
Calcular la integral

∫x

2

ln xdx

Tu primer reto en la integración por partes es decidir cuál es la función, (de tu
integrandooriginal), que desempeñará el papel de la u en la fórmula. He aquí
cómo se hace
Dr. José Luis Díaz Gómez

Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora

El integrando contiene una función logarítmica (la primera en LIATE) así que lnx
es tu función u, el resto x2dx automáticamente es dv.
Así pues tienes los términos son:
= ln x, dv x 2 dx
u =
Pero la integral por partes contiene cuatrotérminos, te faltan los siguientes: du, y
v. Estos los encuentras diferenciando u, e integrando dv, es decir:
1
dx
x

Si u =
= ln x entonces du
Si = x 2 dx entonces =
dv
v

1 3
x Esto significa que v se encuentra
3

dv
dx
∫= ∫ x =
2

integrando dv.
Ahora, ya tenemos los cuatro elementos que aparecen en la fórmula de
integración por partes (1.1), sustituyendo estos valores ellaentonces
1 1
1 
uv
ln xdx = − ∫ vdu = x)  x 3  − ∫ x 3 dx
(ln
3 x
3 
3
x ln x 1 2
− ∫ x dx
=
3
3
3
x ln x 1 1 3
−
x + C , de donde
=
3
33
x 3 ln x x 3
x 2 ln xdx
=
− +C
∫
3
9

∫x

2

Problemas resueltos.
Ejemplo1. Calcular

∫x e

3 x2

dx

∫ x xe dx . Por LIATE hacemos
1
2 x, = ∫= ∫ e xdx
yv
dv
=
e (2 xdx)
=
2∫

Primero reescribimos laintegral así:
2
= x= xe x ; de donde =
u
, y dv
du
2

2

x2

x2

x2

1 x2
e
2

Bueno ya tenemos los elementos de la integral por partes.
2
= x= e x xdx
u
dv
2

= 2=
du
xdx v

1 x2
e
2

Por tanto aplicando la fórmula (1.1) se tiene

∫x e

3 x2

dx=

pero la última integral 1 2 x2 1 x2
2
1 2 x2
x e − ∫ xe x dx=
=
x e − e +C
ya se calculó es (v)
2
2
2Ejemplo 2. Calcular

∫ x(senx)dx
Dr. José Luis Díaz Gómez

Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora

Usando LIATE hacemos u x= ( senx)dx ; de donde
= , y dv
du = dx, y v =

∫ dv = ∫ (senx)dx =

− cos x

Aplicando la integración por partes obtenemos
x(− cos
− x cos
− x cos
∫ x(senx)dx = x) − ∫ (− cos x)dx = x + ∫ (cos x)dx = x + sex + C

Ejemplo 3. Calcular

∫...