Integracion

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Integracion de Funciones
Integracion

Jesus Arrieta
Universidad del Zulia

June 2, 2008

Jesus Arrieta Calculo II

Universidad del Zulia

Integracion Indefinida o Antiderivada
Definicion

Sea la Funcion f definida sobre un intervalo I ⊂ R Si existe una Funcion F tal que dF /dx = f (x) escribiremos f (x)dx = F (x) + c, cεR donde ces f (x)dx se llama

una constante de integracion yIntegral Indefinida o Primitiva o Antiderivada El conjunto F (x) + c, cεR representa la familia de curvas integrables
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Ejemplo halle

2xdx

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Ejemplo halle

2xdx

Solucion:

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Ejemplo halle

2xdx

Solucion: La Funcion F (x) = x 2+ 1 es una antiderivada de f

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Ejemplo halle

2xdx

Solucion: La Funcion F (x) = x 2 + 1 es una antiderivada de f En efecto dF /dx = 2x = f (x) por tanto

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Ejemplo halle

2xdx

Solucion: La Funcion F (x) = x 2 + 1 es una antiderivada de f En efecto dF /dx = 2x = f (x) por tanto2xdx = x 2 + c

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Integrales Inmediatas algebriacas

x n dx =

x n+1 + c, n n+1

−1

1 dx = Lnx + c x bx b x dx = +c Lnb e x dx = e x + c

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Integrales Inmediatas Trigonometricas
senxdx = −cosx + c cosxdx = senx + c sec 2 xdx = tgx + c csc 2 xdx = −ctgx + c secx.tgxdx = secx + ccscx.ctgxdx = −cscx + c
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Integrales Inmediatas Inversas Trigonometricas
dx = arcsenx + c 1 − x2 dx = arctgx + c 1 + x2 −dx √ = arccosx + c 1 − x2 dx √ = arcsecx + c x x2 − 1 −dx √ = arccscx + c x x2 − 1 −dx = arcctgx + c 1 + x2 √
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Metodo de Integracion por Sustitucion
METODO SUSTITUCION:

Supongaseque tenemos dos funciones f y g y deseamos avaluar la integral f (g (x)).f (x)dx.Si F (u) es una integral f (u)du = F (u) o sea
dF du

indefinida de f (u) entonces

= f (u)

Por otro lado aplicando la regla de la cadena se tiene: d(F ◦ g ) dF du du d(g (x)) = = f (u) = f (g (x)) con u = g (x) dx du dx dx dx d(g (x)) Luego f (g (x)) dx = F (g (x)) y asi denotamos dx d(g (x)) f (g (x)) dx = f(u)du dx
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Integral de la forma

(f (x))n f (x)dx con nεN

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Integral de la forma

(f (x))n f (x)dx con nεN

Solucion

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Integral de la forma

(f (x))n f (x)dx con nεN

Solucion Tomese u = f (x)

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Integral de la forma

(f (x))n f (x)dx con nεN

Solucion Tomese u = f (x) Por tanto du = f (x)dx

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Integral de la forma

(f (x))n f (x)dx con nεN

Solucion Tomese u = f (x) Por tanto du = f (x)dx (f (x))n+1 u n+1 Entonces u n du = = n+1 n+1

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Integral de laforma

(f (x))n f (x)dx con nεN

Solucion Tomese u = f (x) Por tanto du = f (x)dx (f (x))n+1 u n+1 Entonces u n du = = n+1 n+1 (f (x))n+1 Por lo tanto (f (x))n f (x)dx = n+1

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Ejemplo halle

(3x − 1)3 3dx

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Ejemplo halle

(3x − 1)3 3dx

Solucion

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Ejemplo halle

(3x − 1)3 3dx

Solucion Tomese u = 3x − 1

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Ejemplo halle

(3x − 1)3 3dx

Solucion Tomese u = 3x − 1 Por lo tanto du = 3dx

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Ejemplo halle

(3x − 1)3 3dx

Solucion Tomese u = 3x − 1 Por lo tanto du = 3dx Entonces (3x − 1)3 3dx = u 3 du = u4...
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