iNTEGRACION

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
El principio de los métodos de integración numerica, basados en las fórmulas de NewtonCotes, consiste en ajustar una un polinomio a un conjunto de puntos y luego integrarlo. Al
realizar dichas integrales obtenemos, entre otras, las reglas de trapecio y de Simpson

1
3

las cuales

dan lugar a reglas de integración compuestas que buscan que el error sea cada vezmenor.
Usemos MATLAB para programar las reglas mencionadas anteriormente.

REGLA DEL TRAPECIO
La regla del trapecio está dada por:
Zb
a

f (x) dx '

b−a
[f (a) + f (b)]
2

si queremos programar esta regla sólo debemos tener en cuenta que los datos de entrada son a, b,
f y el dato de salida es la aproximación. En MATLAB creamos una función que nos permita
realizarlo. El código puede ser:function aprox=trapecio(f,a,b)
f=inline(f);
aprox=((b-a)/2)*(f(a)+f(b))
Recordemos que la segunda instrucción permite que MATLAB identifique a f como una
función que depende de la variable x. Para ejecutar la función en la ventana de comandos de
Matlab digitamos trapecio(f,a,b); por ejemplo, si queremos aproximar
Z2

2

ecos x dx

0

digitamos trapecio(’exp(cos(x^2))’,0,2) yobtenemos 3.23842892946396.

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REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTA
Para un entero n ≥ 1 la regla de Trapecio compuesta esta dada por:
Zb
a

donde h =

#
"
n−1
X
h
f (x) dx '
f (xi ) + f (b)
f (a) + 2
2
i=1

b−a
y xi = a + ih.
n

Si queremos programar esta regla debemos tener en cuenta que los datos de entrada son
a, b, n,f , el dato de salida es la aproximación, es necesarioutilizar un ciclo interno que permita
generar xi para evaluarlo en f, multiplicarlo por dos y sumarlos. Creamos una función en
matlab que me permita realizarlo, el código será:
function aprox=tracom(f,a,b,n)
f=inline(f);
h=(b-a)/n;
aprox=f(a)+f(b);
for i=1:n-1
x=a+i*h;
aprox=aprox+2*f(x);
end
aprox=(h/2)*aprox;
Para aproximar la integral anterior empleando 10 subintervalos digitamos:
>>tracom(0exp(cos(xˆ2))0, 0, 2, 10)

y obtenemos 3.22843406783607, al emplear

100 subintervalos empleamos la instrucción
>> tracom(0exp(cos(xˆ2))0, 0, 2, 100) y obtenemos 3.22335846450614.
REGLA DE SIMPSON

1
3

SIMPLE Y COMPUESTA

2

Tenemos que las reglas de Simpson
Zb
a

f (x) dx '

y
Zb
a

f (x) dx '

1
3

simple y compuesta están dadas por:

∙
µ
¶
¸
a+b
b−a
f(a) + 4f
+ f (b)
6
2

⎡

h⎢
⎢
⎢f (a) + 4
3⎣

n
2
X
i=1

f (x2i−1 ) + 2

n
−1
2
X
i=1

⎤

⎥
⎥
f (x2i ) + f (b)⎥
⎦

b−a
, para n un entero par mayor igual a 2 y xi = a + ih. Los límites de las
n
sumatorias y los subindices 2i − 1 y 2i indican que xj con j par se evalua en f y se multiplica

donde h =

por dos, y si j es impar se evalua en f y se multiplica por4. (esto se obtiene al aplicar regla de
Simpson

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simple sobre los subintervalos [x0 , x2 ] , [x2 , x4 ] , ..., [xn−2 , xn ]). Los programas Matlab

que permiten encontrar la aproximación a la integral son:
function aprox=simpson(f,a,b)
f=inline(f);
aprox=((b-a)/6)*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b));

y la compuesta está dada por
function aprox=simcom(f,a,b,n)
f=inline(f);
h=(b-a)/n;aprox=f(a)+f(b);
for i=1:n/2
x=a+(2*i+1)*h;
aprox=aprox+4*f(x);
end
for i=1:(n/2)-1
x=a+2*i*h;
3

aprox=aprox+2*f(x);
end
aprox=(h/3)*aprox;
Al aproximar la integral anterior digitamos simpson(’exp(cos(x^2))’,0,2) y obtenemos
3.36817724255319, empleando 100 subintervalos obtenemos 3.16558949594821 al digitar
simcom(’exp(cos(x^2))’,0,2,100).

COEFICIENTES INDETERMINADOS Y CUADRATURAGAUSSIANA:

En MATLAB también podemos encontrar los coeficientes y/o nodos de fórmulas de coeficientes indeterminados o de Cuadratura Gaussiana.
En el primer caso, simplemente se requiere formular el sistema de ecuaciones lineales y resolverlo mediante alguno de los métodos explicados en guias anteriores. Por ejemplo, supongamos que deseamos encontrar los coeficientes A, B y C que hacen que la...