integración basica


INTEGRAL INDEFINIDA Y METODOS DE INTEGRACION
2.1 DEFINICION DE INTEGRAL INDEFINIDA
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee: integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función quese integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

2.2 PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx=∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx


2.3 CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS
Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función noes única.
Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.
2.3.1 DIRECTAS
2.3.2 CON CAMBIO DE VARIABLE
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va aintegrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:


Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inicial:


Cambios de variables usuales
1.
2.3.
4.
5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.
6. Si es par:

7. Si no es par:





2.3.3 TRIGONOMETRICAS
Las integrales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas.
CASO 1.
(i) o (ii) donde n es un númeroentero positivo impar.
(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

CASO 2.
donde al menos uno de los exponentes es un número entero positivo impar. En la solución de este caso se utiliza un método semejante al empleado en el caso 1.
(i) Si n es impar, entonces

(ii) Si m es impar, entonces

CASO 3.
(i) (ii) o (iii) donde m y n son números enteros positivos pares.(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

(iii) Se hace la transformación

CASO 4.
(i) o (ii) donde n es un número entero positivo.
(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

CASO 5.
(i) o (ii) donde n es un número entero positivo par.
(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

CASO 6.
(i) o (ii) donde m es un enteropositivo par.
(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

CASO 7.
(i) o (ii) donde m es un entero positivo impar.
i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

CASO 8.
(i) o (ii) donde n es un número entero positivo impar.
Aplique integración por partes.
(i) Considere y
(ii) Considere y


CASO 9.
(i) o (ii) donde n es un entero positivo par ym es un entero positivo impar.
Exprese el integrando en términos de potencias impares de la secante o cosecante y después siga las sugerencias del caso 8.
(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

CASO 10.
(i) (i) o (iii) mn.
(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación


(iii) Se hace la transformación

2.3.4 POR PARTES
El método de...