integración numerica

ufeffIntegración numérica

En los cursos de Análisis Matemático (Cálculo Integral), nos enseñan como calcular una integral definida de una función continua mediante la aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo:

Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f(x) una función continua y definida en el intervalo [a,b] y sea F(x) una función primitiva de f(x), entonces:



El problema en lapráctica se presenta cuando nos vemos imposibilitados de encontrar la función primitiva requerida, aún para integrales aparentemente sencillas como:

La cual simplemente es imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo.

En este capítulo estudiaremos diversos métodos numéricos que nos permitirán obtener aproximaciones bastante precisas a integrales como la mencionadaanteriormente. Esencialmente, veremos dos tipos de integración numérica: las fórmulas de Newton-Cotes y el algoritmo de Romberg.

Las fórmulas de Newton-Cotes a desarrollar son las tres primeras, constituidas por las reglas del trapecio y de Simpson (regla de un tercio y de tres octavos). El algoritmo de Romberg forma parte de una técnica conocida como método de extrapolación de Richardson.
Haciendo usode algunos programas computacionales matemáticos (por ejemplo Scilab) es posible discernir sobre las cualidades y defectos de cada uno de los métodos mencionados arriba.

Las fórmulas de Newton - Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar:Donde fn(x) es un polinomio de la forma


Donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la Figura 1 se utiliza un polinomio de primer grado como una aproximación, mientras que en la Figura 2, se emplea una parábola con el mismo propósito.
 
         
La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por pedazos a la función o datos, sobre segmentos delongitud constante. Así, en la Figura 3, se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral.
 

 
Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton - Cotes. En esta sección sólo se analizarán las formas cerradas. En ellas, se conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración.
 
Grado de precisión de una fórmula de integración numérica

El grado deprecisión de una fórmula de integración numérica es el número natural n que verifica que el error de truncamiento E[Pi]=0 para todos los polinomios Pi(x) de grado i ≤ n, y existe un polinomio Pn+1(x) de grado n+1 tal que  E[Pn+1]≠0.
A continuación, se explicarán las fórmulas que se obtienen cuando el grado del polinomio de aproximación es:

uno (Regla del trapecio)
dos (Regla de Simpson)
tres(Regla 3/8 de Simpson)
 
Regla del trapecio

La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de Newton - Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de aproximación es de primer grado:


Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por los puntos [a; f(a)] y [b; f(b)] es:


el área bajo esta línea recta en el intervalo [a;b] está dada por:Geométricamente, la regla del trapecio consiste en aproximar el área debajo de la curva definida por f(x), por el área bajo la recta que une los puntos [a, f(a)] y [b, f(b)]. Recuerde que la fórmula para calcular el área de un trapecio es la altura por el promedio de las bases. 


Error de la regla del trapecio
 
Cuando se emplea la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integralbajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante. Una estimación del error de truncamiento E de la regla del trapecio es:

Donde ξ Є (a;b). La expresión anterior indica que si la función a integrar es lineal, la regla del trapecio será exacta. Es decir, la regla del trapecio tiene grado de precisión  n = 1. Además, sólo es posible aplicar la regla del trapecio si f(x) es...