Integral Cauchy Y Rieman

´ El Calculo Integral
Integral definida

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´ Introduccion La integral de Cauchy La integral de Riemann Propiedades de las integrales definidas Teorema del valor medio ´ El teorema fundamental del calculo Sumas de Riemann

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MSc. Daniel G. Camacho
3 Facultad de Ingenier´a ı Universidad de Piura

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´ ´ Analisis Matematico I (A1)

´ Vamos a recordar una definicion necesaria para lo que vamos a tratar.

´ Definicion 1 (Conjuntos acotados) Un subconjunto A de R se denomina acotado por arriba si existe un ´ numero real b tal que
x ≤ b,
para todo x ∈ A.

Cualquier b con esta propiedad se denomina cota superior de A. El ´ ´ subconjuntoA esta acotado por abajo si existe un numero real a tal que

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´ ´ En terminos de intervalos, un conjunto esta acotado por arriba si ´ esta contenido en un intervalo del tipo ] − ∞, b[ con b ∈ R. ´ ´ Esta acotado si esta contenido en un intervalo [a, b]para a, b ∈ R

a ≤ x,

para todo x ∈ A.

Cualquier a con esta propiedad se denomina cota inferior de A. ´ ´ Finalmente, decimos que A esta acotado si esta acotado por arriba y por abajo.

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´ Consideremos la funcion f acotada y definida en un intervalo cerrado I = [a, b] ⊂ R. ´ Denominamos region trapezoidal de f en el intervalo [a, b] y la representamos como T ( f ; a, b) a aquella parte del plano limitada por el intervalo [a, b], las l´neas verticales que pasan por los puntos ı ´ extremos a y b y la grafica de f .

´ ´ Bajo hipotesis adecuadas sobre f podemos asociar ala region ´ trapezoidal de f en [a, b] un numero, la “integral definida de f sobre [a, b]”. ´ ´ ´ En el caso en que f sea positiva, este numero es el area de la region. Las diferentes nociones de integral dependen de lo que se demande del integrando. Estudiaremos dos tipos. El primero, relacionado con el nombre de Cauchy trata sobre las funciones continuas o continuas a trozos en [a, b].

T ( f ;a, b) = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) o f (x) ≤ y ≤ 0}
´ La restriccion en y depende del signo de f (x).

´ Figura: Region trapezoidal de f en [a, b].

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´ IntroduccionLa integral de Cauchy La integral de Riemann Propiedades de las integrales definidas Teorema del valor medio ´ El teorema fundamental del calculo Sumas de Riemann

´ ´ Definicion 2 (Funcion continua a trozos) ´ Una funcion f : [a, b] → R es continua a trozos cuando es continua en
´ cada punto excepto en un numero finito de puntos en los cuales la discontinuidad de salto o removible. ´ El segundotipo se debe a Riemann y conduce a una clase mas amplia de funciones integrables.

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Asumimos que f es continua en [a, b]. ´ ´ La idea es construir unasucesion de aproximaciones a la region trapezoidal de f y luego hallar un l´mite. ı Consideramos un entero positivo cualquiera n. Dividimos [a, b] en n partes de igual longitud ∆x = b−a y denotamos los puntos de n ´ subdivision por xk = a + k∆k, k = 0, 1, . . . , n. ´ Notar que dichos puntos estan ordenado por un sub´ndice creciente ı como a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b. Para k = 1, . . . , n...