Integral De Green

VICTOR DANIEL ROJAS CERNA

MATEMÁTICAS III

INTEGRALES DE LINEA O CURVILÍNEA
Sea γ una curva en Rn , con parametrización γ  r  r (t ), t [a, b] donde γ es una curva (regular),es decir,

t [a, b]: r '(t )  0 , entonces definimos la integral de una función F :   Rn ,   Rn como:

 F (r (t ))dr   F (r (t ))r '(t )dt

a

b

F es un campo vectorial

La interpretación dela

 F dr 
No es otra que el trabajo que se realiza para desplazar una partícula desde el origen de la curva r (a) hasta

r (b)

r (b) r (a)
Ejemplo:

F ( x, y )  ( x  y, xy) r : x  r cos 
y  rsen

r  cte

γ: r ( )  (r cos  ; rsen ) ;  [0; 2 ] γ es una curva cerrada
2  F dr =  (r cos  rsen ; r cos sen ).(rsen ; r cos )d 2



0

1

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= r 2



2

0

(cos  sen  sen2  r cos 2  sen )d

INTERPRETACIÓN DE LA TRAYECTORIA En caso F   para algún campo escalar  , entonces el valor de la integral no depende de la trayectoria. Ejemplo:

d ( x 2 y )  2 xydx  x 2 dy   2 xydx  x 2 dy


 (2 xy, x 
F  

2

)(dx, dy )

F  (2 xy; x 2 )

 ( x, y )  x 2 yConceptos Topológicos 1.-Vecindad

( x0 ; R)  x  R n / x  x0  R

x0 R

2.-Vecindad Reducida

V '( x0 ; R)  V ( x0 ; R) / x0 

x0

R

3.-Punto Interior

x0  A  R n se dice que es un punto interior de A , si R >0/ V ( x0 ; R)  A
4.-Conjunto Abierto

A  Rn es abierto, si todo punto de A , es un punto interior
5.-Convexo y Conexo

A  Rn es convexo, si x, y  A : xy A ( xy es el segmento que uno x con y)
2

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p

q

A es un conjunto convexo
Rn

B  Rn es conexo, si x, y  A : Pyx  B
q

B es un conjunto conexo
p

R

n

6.-Dominio

  Rn es un dominio, si es un conjunto abierto y conexo.
7.-Dominio Simplemente Conexo

  Rn es un dominio simplemente conexo si:
1) Dominio 2) conjunto simplemente conexo   , se reduce aun punto sin salirse del dominio de Ω

Ω1 no es un dominio simplemente conexo

Ω2 no es un dominio simplemente conexo

8.-Punto Exterior

x  A , A  Rn es un punto exterior si x es un punto interior de Ac = R n / A

Rn
A

x

Ac

3

VICTOR DANIEL ROJAS CERNA 9.-Conjunto Cerrado A es cerrado  Ac es Abierto  Ejemplo:

MATEMÁTICAS IIIR n es abierto y cerrado
10.-Punto Frontera Son Aquellos puntos que no son puntos interiores ni puntos exteriores de un conjunto A  R n 11.-Región

  Rn es un dominio con algunos puntos frontera, sea dominio región.
PROPIEDADES. 1. Si  f (r (t )).dr , entonces a  K :  af (r (t )).dr . Además se cumple

 

 

 af (r (t )).dr  a  f (r (t )).dr .  
2. Si  f (r (t )).dr y g (r (t )).dr entonces  ( f  g )(r (t )).dr además se cumple que.

 

 

 

 ( f  g )(r (t )).dr y también se cumple que


 ( f  g )(r (t )).dr   f (r (t )).dr   g (r (t )).dr   

3. Si    k , m  n   m   n  P disjuntos salvo el punto de unión de las curvas, entonces si

 f (r (t )).dr se cumple


 f (r (t )).dr    f (r (t )).dr . 
kk

4. Si

 es la curva  recorrida en sentido contrario, entonces en caso  f (r (t )).dr se cumple

 

  f (r (t )).dr y además se cumple también que



f (r (t )).dr    f (r (t )).dr .


5. Si la curva  es rectificable de longitud L, si f es continua en los puntos de  , además en caso f sea acotada en  entonces se cumple:

 f (r (t )).dr 

 ML M es la cotade f sobre  .

Ejemplos. Calcular:

I 

xdy  ydx donde  : x  y  1 x2  y 2 

Solución:

4

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I1  

1

1 dt =0 (1  t ) 2  t 2 0
1

x  1 t yt
xt y  1 t
x  t 1 y  t
xt y  t 1

I2  
I3  
1 1

1  2t dt =ln5/2 (1  t )2  t 2 0

1  2t dt =0 (t  1) 2  t 2 0 2t  1 dt =0 (t  1)2  t 2 0

I4...