Integral de Superficie

Para evaluar una de las llamadas integrales de superficie, la escribimos como una integral doble sobre una región en un plano coordenado bajo. Las integrales desuperficie permiten calcular cantidades como el flujo de un liquido a través de una membrana, o la fuerza hacia arriba sobre un paracaídas.
DEFINICION Integral desuperficie:
Si R es la región sombra de una superficie S definida por la ecuación f(x, y, z) = c, y g es una función continua definida en los puntos S, entonces laintegral de g sobre S es la integral

Donde p es un vector unitario normal a R y (grad f)*p ≠ 0. La propia integral es llamada una integral de superficie.
La integralde la ecuación anterior asume diversos significados en aplicaciones diferentes. Si g tiene el valor constante 1, la integral da el área de S. Si g es la densidad demasa de una capa delgada de material modelado por S, la integral da la masa de la capa. Podemos abreviar la integral de la ecuación anterior, escribiendo dσ para(|grad f|/|grad f*p|) dA.
La diferencial del área de la superficie y la forma diferencial de las integrales de superficie


Las integrales de superficie se comportancomo otras integrales dobles, la integral de la suma de dos funciones es la suma de sus integrales, etcétera. La propiedad aditiva del dominio toma la forma

La ideaes que si S está dividida por curvas suaves en un número finito de partes que no se traslapan (es decir, si S es suave por partes), entonces la integral sobre S esla suma de las integrales sobre las partes. Así, la integral de una función sobre la superficie de un cubo, es la suma de las integrales sobre las caras del cubo.