Integral de superficie

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INTEGRAL DE SUPERFICIE

La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemannclásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.

Integral de superficie de un campo escalar
Se define la integral de superficie de una funciónescalar (real) F(x,y,z) en el espacio tridimensional R3 respecto a una superficie S representada por la función vectorial continua . Si la superficie S es la imagen de la región T en el plano uv,entonces establecemos la equivalencia:

en que son las derivadas parciales de la función vectorial que define a S, respecto a las variables u y v.[]
La razón de esta definición proviene del hecho de queuna integral doble "clásica" de una función f(x,y)puede definirse subdividiendo la región de integración T en pequeños rectángulos cuyos lados fueran de medidas dx y dy y efectuando la sumatoria delos productos f(x,y)·dx·dy en que el punto (x,y) se halla en el interior del rectángulo correspondiente. Como puede observarse, dx·dy es el área de cada uno de esos rectángulos, por lo que habitualmenteeste producto se denota por dA.
Al extender este proceso a una superficie tridimensional, ésta se divide en pequeños sectores de área dS en los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evalúa lasumatoria de los productos f(x,y,z)·dS. El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del paralelogramo formado por sus vectores tangentes de longitud infinitesimal, y, por la definición deproducto cruz, el vector es un vector perpendicular a ambos vectores cuya área es la de dicho paralelogramo, por lo tanto, . Al valor dS lo llamamos elemento escalar de área.[]

Integral de superficiede un campo vectorial
Definimos la integral de superficie de un campo o función vectorial bajo condiciones similares al caso anterior, de la siguiente forma:

Las componentes del vector pueden...
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