integral definida

AREAS.
Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz
gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no
poligonales,
es
decir
de
regiones
con
aspecto
curvo
(imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, no como los antiguos griegos- pero de la forma mas moderna, el
como podemos hallar áreas haciendo uso de la integral.
Comencemos dando unaprimera definición de la relación que
existe entre la integral y el área (bajo curva en primera
medida) de una región no poligonal:

AREAS BAJO CURVA
Definición: Sí f es continua
cerrado

[a ,b] ,

f, el eje
por:

x

y no negativa en un intervalo

el área de la región limitada
y las rectas verticales x = a y

por la gráfica de

x = b viene dada

b

Area =

∫

f ( x )dx

a
Observemos la siguiente fig 1:
FIG 1.

En ella se ve que
f es una función continua, positiva (por
encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las

x = b . Podemos hallar el área de la
rectas verticales x = a y
región R por medio de una integral definida aplicando la
definición anterior.

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como
sepuede aplicar la definición.

EJEMPLO 1:

Hallar el área de la región acotada por la curva

f ( x ) = 4 y las rectas x = −3 y x = 2 .

SOLUCIÓN:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la
región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo
se muestra la región establecida.
FIG 2.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición
anterior, el área de laregión R
viene dado por:

2

∫

4 dx

= −3

A

3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la
integral.

2

∫

4 dx

A = −3

4x 2
−3
=

= 4( 2 ) − 4( −3 ) = 20
Luego el área de la región es 20 u2.
Obsérvese

que

esta

región

es

rectangular,

luego

se

puede

encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este
punto de vistase puede hacer lo siguiente:
A = bh
=

( 2 − ( −3 ))( 4 )
( 5 )( 4 )

=
=
No
es
sorprendente
equivalentes.

EJEMPLO 2:

que

Hallemos

20.

se

hayan

obtenido

resultados

el área de la región acotada por la

3
curva f ( x ) = x + x acotada por

[− 5,5] .

SOLUCION:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva
junto con el intervalo de acotaciónsobre el eje x, por su
puesto.
FIG 3.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la fig 3, las
rectas x = −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A1 y
A2 respectivamente. También se puede ver que el intervalo

[− 5,5]

se puede dividir en dos, así: [− 5,0] y [0 ,5] . Luego el
área de la región (coloreada de verde) viene dada por:
A = A1 + A2

0

A=

∫

5

( x 3 − x )dx +

−5

∫
0

( x 3 − x ) dx

3. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la
integral de la siguiente forma:

0

A=

∫

5

( x 3 − x ) dx +

−5

∫
0

⎛ x4 x2 ⎞ 0 ⎛ x4 x2 ⎞ 5
⎟
⎟
+
+⎜
+
( x 3 − x ) dx = ⎜
⎜4
2 ⎟ −5 ⎜ 4
2 ⎟0
⎝
⎠
⎝
⎠

=−

( −5 ) 4 ( −5 ) 2 5 4 5 2
−
+
+
4
2
4
2
=−

675 675
+
4
4

=

675
2

Luego el área dela región sombreada es de

675 2
u.
2

AREAS ENTRE DOS CURVAS
QUE NO SE CORTAN.
Para plantear la siguiente definición, debemos de tener en
cuenta las mismas condiciones de la definición planteada en el
numeral 1, es decir:
Definición: Consideremos 2 funciones,
el intervalo [a , b] ,
siguiente figura:

de

forma

que

f ( x ) y g ( x ) continuas en
f ( x ) > g( x ) .Observen la

El área de la región R viene dada por:

b

A=

∫

( f ( x ) − g( x )) dx

a

.

Es razonable la definición anterior. En efecto, f ( x ) ≥ g ( x ) , luego

f ( x ) − g( x ) ≥ 0 , y

el

área

de

la

región

determinada

anterior diferencia es mayor que cero, es decir: A ≥ 0 .
Ahora consideremos la siguiente gráfica:

por

la

f ( y ) y g ( y ) son...