Integral Definida

Páginas: 14 (3322 palabras) Publicado: 24 de septiembre de 2011
INTRO. LA INTEGRAL DEFINIDA En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una función, descubriendo distintos procedimientos para el cálculo de primitivas, es decir, se han encontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas. Sin embargo no quedan claros ni su significado ni su utilidad. Éstos son los objetivos de este tema, para lo cual se dará lainterpretación que Riemann, matemático alemán, dio a conocer en el siglo XIX. El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se calcula. Pararesponder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x = 1. Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es 1/2.Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos.

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos como se observa en la figura, la suma delas áreas de los rectángulos rayados es menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo. Calculando estas áreas se obtiene:

Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.

Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Ahora bien, si sedivide en muchas más partes el intervalo [0, 1], parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4. Área por defecto:

Área por exceso:

1

Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:

Además,

Todoello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando. Partición de un intervalo [a, b] Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuyaunión es [a,b]. La partición de un intervalo queda determinada por los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la partición se suele expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la partición de [a, b] es:

Name=3; HotwordStyle=BookDefault; Estos extremos se suelen escribir en orden creciente, a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b

Name=4; HotwordStyle=BookDefault; ð Ejemplo departición

Función escalonada Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en R, f:[a,b] ð R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición. 2

ð Ejemplos de funciones escalonadas 1. La función f: [−3, 4] ð R definida por:

La partición asociadaa f(x) es P = {−3, 2, 4} y en cada intervalo la función es constante.

Name=5; HotwordStyle=BookDefault; Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de particiones asociadas. Por ejemplo, {−3, −2,0, 2, 3, 4} es otra partición asociada a f, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo de la partición. 2. El ejemplo más representativo de función escalonada es...
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