Integral Definida
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos como se observa en la figura, la suma delas áreas de los rectángulos rayados es menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo. Calculando estas áreas se obtiene:
Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.
Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Ahora bien, si sedivide en muchas más partes el intervalo [0, 1], parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4. Área por defecto:
Área por exceso:
1
Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:
Además,
Todoello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando. Partición de un intervalo [a, b] Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuyaunión es [a,b]. La partición de un intervalo queda determinada por los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la partición se suele expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la partición de [a, b] es:
Name=3; HotwordStyle=BookDefault; Estos extremos se suelen escribir en orden creciente, a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b
Name=4; HotwordStyle=BookDefault; ð Ejemplo departición
Función escalonada Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en R, f:[a,b] ð R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición. 2
ð Ejemplos de funciones escalonadas 1. La función f: [−3, 4] ð R definida por:
La partición asociadaa f(x) es P = {−3, 2, 4} y en cada intervalo la función es constante.
Name=5; HotwordStyle=BookDefault; Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de particiones asociadas. Por ejemplo, {−3, −2,0, 2, 3, 4} es otra partición asociada a f, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo de la partición. 2. El ejemplo más representativo de función escalonada es...
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