Integral

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El cálculo integral se basa en el proceso inverso a la derivación, llamado integración.
Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas.

La Integral Indefinida
Dada unafunción f, se busca otra función F tal que su derivada es F′ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = ∫f(x)dx o simplemente
F = ∫f dx.
Ejemplo, si f(x)= x2,entonces una función cuya derivada es la función f es g(x)= x3/3 + 8. Pero no es esta la única función cuya derivada es f. Cualquier otra función de la forma g(x)= x3/3 +C donde C es un valor constantecualquiera, cumple la misma propiedad. La función g(x)= x3+ C es lo que se llama antiderivada de la función f(x). También se llama su integral indefinida.

La Integral Definida

Observando la figuraanterior ubicamos la región β, donde podemos ver que las fronteras exteriores son el eje x y f(x)= y = c y las rectas verticales x= a y x= b. La región β es un rectángulo, y su área es un numero realque Área (β)= (b-a) (c).

Pero, ¿de que manera podemos encontrar podemos encontrar el área de la segunda figura en la cual la frontera superior es una curva?

Para resolverlo se acude a una ideade Arquímedes y se divide el intervalo (a,b) en un numero finito, en n intervalos. El resultado es que la región Ω ha quedado dividida en n regiones más pequeñas. Si se cubre cada una de estasregiones con un rectángulo que sea del ancho de la base y tan alto como se pueda hacer sin que este salga de la región, el área total de estos rectángulos seria una aproximación a lo que se podría llamar laverdadera área de la región Ω. La cantidad que se obtenga deberá ser menor que el área real de Ω.

La otra aproximación se obtiene si en lugar de tomar rectángulos cuya altura sea tal que estosquepan enteramente dentro de la región, se toman rectángulos cuya altura coincide con el valor máximo que toma la función en ese intervalo. Al sumar el área de esos rectángulos el aproximado que se...
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