Integral

4.1 Definición de Series
En matemáticas, una
serie
es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a como donde es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .Las series convergen o divergen .Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o sidiverge. Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).- si L< 1, la serie converge.- si L> 1, entonces la serie diverge.- si L= 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Serie finita
Las series finitas son lasque constan de un determinado, o finito número de términos, cuya suma extrae exactamente el valor de una cantidad. Así haciendo la división, que indica esta expresión a+b / a 2 ± ½ b, el cociente tendrá muchos términos separados unos de otros con dichos signos, por consiguiente será una serie. Si este cociente llegase a ser absolutamente exacto, de manera que no hubiese resta alguna, o lo que es lomismo, multiplicado por el divisor, su producto seria finita, y se limitara a un determinado número de términos. De aquí es, que toda serie que extrae la potencia perfecta de una cantidad compuesta, debe ser finita, porque el número de términos, que extrae la potencia m + 1, y siendo m un numero entero determinado, también lo será m+1; de donde el número de términos, y la serie que extrae lapotencias es finita
Una serie numérica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
2, 4, 8, 16, 32, 64,....
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
3, 6, 10, 12, 14, 20
Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita.- Ejemplo Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4}
f(1)=2x1=2
f(2)= 2x2=4
f(3)= 2x3=6
f(4)= 2x4=8
 
7(2,4,6,8)f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier número del intervalo [1, 4]
4.1.2Serie infinita
Haciendo la división, que indica esta expresión a+b / a
2± ½ b, el cociente tendrá muchos términos separados unos de otros con dichos signos, por consiguiente será una serie. Si prosiguiendo la división siemprehubiese un residuo que dividir, es decir, que no exista un elemento que al multiplicarlo por divisor no haya resta que realizar, el cociente que saldría sería una serie infinita, o que jamás se acabaría, por lo tanto jamás se podría llegar a una expresión del todo exacta, de la fracción, o del cociente. Por eso dicha serie se suele terminar con un &x. que algunas veces se omite por suponerse. Laserie que extrae una raiz inconmensurable, como sucedería sacando la raíz q indica esta expresión
Las series infinitas, cuyos términos son positivos, tiene propiedades especiales.
 
En particular, la sucesión de sumas parciales de dichas series es creciente y tiene una cota inferior 0. si la sucesión es monótona y acotada. Como el acotamiento y la convergencia de una sucesión monótona sonpropiedad es equivalentes, entonces, la series es convergente. De este modo, se tiene el teorema siguiente.
 Teorema
 Una serie infinita de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de sumas parciales tiene una cota superior. En sí mismo, este criterio no es muy útil: decidir si el conjunto es o no acotado es precisamente lo que no sabemos hacer. Por otra parte, si se dispone dealgunas series convergentes para comparación se puede utilizar este criterio para obtener un resultado cuya sencillez encubre su importancia (constituye la base para casi todas las demás pruebas).
 
4.2 Serie numérica y convergencia, Prueba de la razón (criterio de D¶ Alembert) y Prueba del a raíz (criterio de Cauchy).Carácter de una serie. y
 
Convergente: Cuando la suma es un número real. y...