Integral

Páginas: 20 (4993 palabras) Publicado: 24 de febrero de 2013
INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN

Por:

Ing. Mario René De León García.

1.

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN

En las unidades anteriores se estudió el concepto de la derivada de una función, así como sus aplicaciones, ahora se
introducirá al estudiante a temas de Cálculo Diferencial, suponga la siguiente función:

Cuya grafica es la siguiente:

y

x

Para obtener la primera derivada de lafunción

, se aplica el operador

a ambos lados de la igualdad:

Aplicando las reglas correspondientes, se obtiene la derivada de la función:

La derivada de una función es otra función a la que se le llamara

Para derivar los términos de la función

en este caso:

se aplicó entre otras, la siguiente fórmula de derivación:

2

Integral de una función
La regla para derivarindica que el exponente pasa a multiplicar, mientras que el exponente en la variable se reduce

en uno.
La mayor parte de funciones matemáticas tiene una función inversa, por ejemplo: la función exponencial y el logaritmo;
coseno y el coseno inverso; raíz cuadrada y potencia cuadrada; tangente inversa y tangente, entre otras. Dos funciones que son
inversas entre sí deben cumplir con:

Estapropiedad indica que la función inversa cancela la acción de la función, regresando al valor inicial, por ejemplo:
. A continuación se estudia el proceso inverso que permite anular las acciones de la derivación para regresar a la función
inicial. La operación que anula las acciones de derivación, se llama “antiderivación” o “integrac ión indefinida”, cuya notación es la
siguiente:

Regresando alejemplo inicial, se establecerá el procedimiento para encontrar la función de Antiderivada de
debería ser
. Según lo discutido previamente, se debe cumplir que:

Recuerde la función

que es el resultado de la derivada de

, la cual

:

O bien:

Para antiderivar

realizamos las acciones contrarias a la de derivación, esto sería: aumenta r el exponente en uno y

dividir el términosobre este valor, es decir:

. Si se deriva

se obtiene nuevamente

, lo que demuestra que el proceso

de antiderivación explicado es correcto. Siguiendo estas ideas se podría encontrar la Anti derivada de
al lado derecho de la ecuación de derivada anterior:

, iniciando por trasladar

Aplicando el operador de integración:

Se obtiene que:

Observe que al final de la función deAntiderivada debe haber un número, ya que la derivada de una constante es cero,
por lo que en el proceso de antiderivación o integración se debe considerar que al final hay un cero y su Antiderivada es un valor
contante, ¿pero qué valor? Pues no se conoce y solo se sabe que debe ser un valor constante, por esta razón, la Antiderivada más
general de
es:

Donde

es un valor constante quepertenece a los números reales

Preparado por: Ing. Mario René De León García

3

Integral de una función

Como
es un valor que pertenece a los reales, la Antiderivada no es una función única, es una “familia de funciones”,
una diferente para cada valor de , las cuales pueden representarse por una “familia de graficas”. Todas las graficas tienen la
misma forma pero trasladadasverticalmente, debido a los valores de
que distinguen a cada Antiderivada particular.

y

x

Para obtener una Antiderivada particular, se debe conocer al menos un par ordenado de la función que se quiere
encontrar. Para la función
dada inicialmente, se puede utilizar el punto
que permitirá encontrar el valor
que
particulariza la Antiderivada:

Se obtiene:

Por lo tanto, la Antiderivadaparticular cuya grafica pasa por el punto

está dada por:

En este caso se conocía la ecuación de la función estudiada en el ejemplo, así como su grafica. En general cuando se
busca la Antiderivada de una función no se conoce su grafica o ecuación, por lo que se obtendrá una función o Antiderivada
general. Las siguientes definiciones son útiles en el es tudio del Cálculo integral:

ANTIDERIVADA...
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