Integral

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CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitadapor la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

[pic]

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
La integral definida cumple las siguientes propiedades:

✓ Toda integral extendida a un intervalode un solo punto, [a, a], es igual a cero.

✓ Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

✓ La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

✓ La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de lafunción (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

✓ Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

✓ Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
[pic]

✓ Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) ≤ g (x), se verifica que:[pic]

[pic]

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

[pic]

Apartir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

✓ Se busca primero una función F (x) que verifique que F’ (x) = f (x).

✓ Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
✓ El valor de la integral definidaentre estos dos puntos vendrá entonces dado por:
[pic]
 

Problema propuesto en las pruebas de Selectividad de Madrid. España.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales.

[pic]a) Hallar las coordenadas del mínimo de la curva y=x2-4x-5

b) Calcular el área del triángulo limitado por el eje OX y las tangentes a la curva dada en los puntos de intersección dedicha curva con el eje OX.

[pic]

Primera parte del Problema

[pic]
1.- Limpiamos las variables almacenadas en la Classpad con la orden Clear_a_z
Definimos y1(x) como la función dada. Hacemos ésto porque de esta forma queda automáticamente definida la función en la parte de gráficos y tablas de la Classpad y queda lista para poder ser representada.

[pic]

2.- Recordamos que paraque una función tenga un mínimo en un punto, la derivada en ese punto tiene que ser cero (repasa la interpretación geométrica de la derivada en Calcumat). Por lo tanto, se trata de ver que valores anulan la primera derivada de y1(x).
Puedes observar en la captura superior que he usado la orden solve para averiguar esos valores:

solve(diff(y1(x),x)=0,x)

Con la ordenexpuesta encuentro que el valor que anula la primera derivada de y1(x) es x=2.
Para comprobar si en x=2 hay un máximo o un mínimo tengo que mirar la segunda derivada de y1(x).
Si el valor de la segunda derivada en x=2 es mayor que cero, estaremos ante un mínimo, si es menor que cero será un máximo (si fuese cero podría tratarse de un punto de inflexión).

En la captura superior...
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