Integrales de superficie

14.7 INTEGRALES DE SUPERFICIES

En la clase anterior vimos que el área de una superficie lo podemos calcular dependiendo el tipo de función por medio del cual podemos representar la superficie,esto es:

1. Si z = g(x,y) entonces, el área de la superficie es:
[pic]
2. Si y= h(x,z) entonces, el área de la superficie es:
[pic]
3. Si x = R(y,z) entonces, el áreade la superficie es:

[pic]
Por lo tanto si definimos, de una manera análoga a las integrales, las integrales de superficies están dadas por:

1. Si z = g(x,y) entonces
[pic]2. Si y= h(x,z) entonces
[pic]
3. Si x = R(y,z) entonces
[pic]

Ejemplo1

Calcular el área de la parte del plano x + 2y +z = 4 que está dentro del cilindro [pic]Solución:

Aquí z = g(x,y) = 4 – x –2y
Con [pic]. Así,
[pic]
esto es:
[pic]

Ejemplo 2

Hallar el área del paraboloide [pic], que está dentro del cilindro [pic]

Solución:

En este problemax = R(y,z) = y2 + z2 , con [pic] ( Región de integración ). Por lo tanto:

[pic]

[pic]

Ejemplo 3

Calcular [pic][pic] suponiendo que S es la parte del cono circular [pic]
Que seencuentra entre los planos z=1 y z= 4.

Solución:

Como se muestra en la figura la proyección en el plano xy es un anillo compuesto de los círculos de radios 1 y4 respectivamente, centradas en el origen.
Si escribimos la ecuación de S tenemos:
[pic]

es claro que [pic], entonces:[pic]

Ejemplo 4

Calcular [pic], donde S es la parte de la gráfica de [pic] que se encuentra en el primer octante que se encuentra entre el plano xz y el plano y=3

Solución:La superficie S es la parte que se encuentra en el primer octante del cilindro x2 +z2 = 1 , entre los planos y=0 ,y, y=3.

Es claro que la...