Integrales De Superficie

Superficies

1.-Definición.-

Sean (imag1) un conjunto conexo y (imag2) una función continua. La imagen S = k(A) se llama superficie descrita por k.
Tambien se dice que k es una parametrización de S o que es una representación paramétrica de la superficie S.
Los conjuntos de R3 que forman superficies no solo se obtienen de esta forma sino que el conjunto puede venir definido de otrasmaneras. Aunque, para el estudio de la integral de superficie, las superficies van a manejarse siempre mediante su representación paramétrica hay otras formas de representar superficies en el espacio y que es conveniente conocer.
1.1.-Expresion analitica de una superficie.-
Representación implicita.-Dada una función real F que toma valores en R3,el conjunto de puntos
(imag4)
Constituye unasuperficie en R3y de la expresión F(x,y,z) = 0 se dice que es una representación implícita de la superficie S.
Representacion explicita.- Dada una función real ƒ que toma valores en (imag5), el conjunto de puntos
(imag6)
Conforma una superficie en R3 y de la expresión z = ƒ(x,y) se dice que es una representación explícita de la superficie S.
Analógicamente, para x= ƒ (y, z) ó y = ƒ (x , z).Ejemplo: El plano x + 2y + 3z = 4 es una superficie en (imag3).
* Si consideramos la función F(x , y, z) = x + 2y + 3z – 4, la expresión x + 2y + 3z – 4=0 es una representación implícita del plano.
* Despejando, por ejemplo x en la expresión anterior, x = 4 - 2y - 3 z = ƒ(y,z) es una representación explícita del plano.
* Haciendo u= y yv = z , la función (imag7) con k( u, v) = (4 - 2u - 3v , u , v) es una parametrización del plano.

1.2.-Superficies cuadráticas.-
Una de las familias mas importantes de superficies de R3 son las llamadas cuádricas o superficies cuádricas, que se obtienen de igualar a cero una función polinómica de tres variables y grado 2 es decir, una expresión de la forma
(imag8)
Mediante giros ytranslaciones se pueden escribir en la forma
(imag9)
Donde los ni son 1 ó 2 y algunos de las ai pueden ser cero (en los casos siguientes pueden observarse algunos de estos tipos).
a.-Elipsoide.-
El elipsoide de semiejes a ,b ,c > 0 viene dado por la ecuación

(imag10)
Una representación paramétrica se obtiene con una pequeña modificación de las coordenadas esféricas (recordemos que en elcaso particular a= b = c el elipsoide es una esfera) mediante
k: :[ 0, 2π] x [ 0, π] →R3 con
k( θ, φ) = ( a cos θ sen φ , b sen θ sen φ , c cos φ).
La superficie completa del elipsoide no puede expresarse explícitamente, aunque sí por trozos. Por ejemplo, para z ≥0 y z≤0 se tienen las mitades superior e inferior del elipsoide representadas por
(imag11)
b.-Hiperboloide de una hoja.-El hiperboloide elíptico de una hoja viene dado por la ecuación (a,b,c >0)
(imag12)

Una representación paramétrica se obtiene, de manmera sencilla, haciendo v = z/c y el cambio a polares en la ecuación (imag13) . Por tanto, (imag15)

(imag14)
Puede evitarse la raiz haciendo uso de las funciones hiperbolicas mediante v=sh t y se obtiene (imag15) con k( θ, t) = ( a ch t cos θ , bch tsen θ , c sh t).
La superficie completa del hiperboloide no puede expresarse explícitamente, aunque sí por trozos. Por ejemplo, para z ≥0 y z≤0 se tienen las partes superior e inferior del hiperboloide representadas por
(imag16)

c.-Hiperboloide de dos hojas.-
El hiperboloide elìptico de dos hojas está formado por la unión de dos superficies conexas. Cada una de las hojas vienedada por la ecuación (a,b,c >0)
(imag17)
Con z ≥0 y con z≤0
Una representación paramétrica, para cada una de las hojas, se obtiene como en el caso anterior mediante k :[ 0, 2π] x [ 1, +∞]→R3 con
kθ,v=(av2-1cosθ,bv2-1senθ,cv)
Y k :[ 0, 2π] x (-∞,-1]→ R3 con

kθ,v=(av2-1cosθ,bv2-1senθ,cv)
La superficie de cada hoja del hiperboloide puede expresarse explícitamente, para...