Integrales De Superficie

Integrales de superficie
Representaciones de superficie
Para abreviar, el término “superficie” se denota también para denotar una porción de una superficie, así como se dice “curva” para referirse al arco de una curva.
Su representación de la superficie S en un espacio xyz son:
Z= f(x, y) o g(x, y, z)= 0 1
Por ejemplo,
Representa una semiesfera deradio a y centro 0.
Para las superficies S en integrales de superficie, con frecuencia resultara más práctico usar una representación paramétrica. Las superficies son bidimensionales. Por lo tanto se necesitan dos parámetros, a los q se denomina u y v.

Representación de una curva y una superficie paramétricas.

En consecuencia, una representación paramétrica de una superficie S enel espacio es de la forma:
2
Donde R es un punto en el plano uv. Este mapeo transforma cada punto (u, v) de R sobre el punto de S con vector de posición r (u, v).
Ejemplo 1: representación paramétrica de un cilindro
El cilindro circular tiene radio a, altura 2 y al eje z como eje. Una representación paramétrica es:
3
Donde los parámetros u, v varían en elrectángulo r, en plano dado por las desigualdades . Las componentes de r(u, v) son:

Las curvas son circunferencias paralelas. Las curvas son rectas verticales. El punto P corresponde a
Ejemplo 2: representación paramétrica de una esfera.
Una esfera puede representarse en la forma:

Donde los parámetros u, v varían en rectángulo R del plano uv dado por las siguientes desigualdades .Las componentes de r son:

Las curvas y son los “meridianos” y los “paralelos” de S.

Representaciones paramétricas de un cilindro y una esfera.
Esta representación se usa en geografía para medir la latitud y longitud de puntos en el globo terráqueo.
Otra representación paramétrica de una esfera usada también en matemáticas es:
3*
Donde
Ejemplo 3: representación paramétrica deun cono.
En un cono circular, puede representarse por:

Donde u, v varían en el rectángulo R: . Las componentes de r (u,v) son

Plano tangente y normal
Antes de introducir las integrales de superficie, se da un paso más y se introduce los vectores normales a superficies, los cuales serán necesarios. Un vector normal a una superficie S en un punto P es un vector normal a un vectorperpendicular al plano tangente a S en P, el plano contiene a todos los vectores tangentes a las cuervas sobre S que pasan por P. puesto que S está dada por r = r (u, v) en, la idea es que se obtiene una curva C sobre S al tomar al tomar un par de funciones continuas (que no sean ambas constantes)

Por lo que C tiene vector de posición. Al suponer q estas funciones son derivables y aplicando laregla de la cadena, se obtiene un vector tangente para C dado por:

Plano tangente y vector normal
Por lo tanto la derivadas parciales, n P son Tangenciales a S en P y se supone que son lineales independientes, por lo que generan el plano tangente a S en P, entonces su producto vectorial da como resultado un vector N vector normal a S en P.
4

El vector unitario n normal a S en Pcorrespondiente es:
5
Además si S está representada por.
5*
La discusión puede resumirse así:
Teorema 1(plano tangente y normal a una superficie).
Si una superficie S una superficie está dada por (2), con y continuas y que satisfagan a (4) en cada punto de S, entonces S tiene en cada punto P un plano tangente único que pasa por P, y que es generado por así comouna normal única cuya dirección depende de manera continua de los puntos de S.
A una superficie S como esta se le llama superficie suave. Se dice que S es suave por secciones si está compuesta por un número finito de porciones suaves. Por ejemplo, una esfera es suave y la superficie de la frontera de cubo es suave por secciones.
Ejemplo 4 vector unitario normal a una esfera
Por (5*) se...