Integrales definidas (fuente ucv)

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Guía de Teoría y Práctica
Matemática II
Semana Nº 5

INTEGRALES DOBLES

INTEGRALES DOBLES

Suponga que está definida y es acotada en la región rectangular

R : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d.Imaginamos R cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y .Estas rectas dividen a R en pequeños subrectángulos que enumeramos y cuyas áreas son . Si escogemos en , podemos definirla suma de Riemann de

Al disminuir el largo y el ancho de los subrectángulos de manera que tiendan a cero cuando n tiende a infinito podemos examinar el límite de Sn cuando n tiende ainfinito. Si existe decimos que es integrable sobre el rectángulo R y definimos

Si f es continua en R, entonces f es integrable y se tiene que

Si es integrable sobre el rectángulo R, igual queocurre con las funciones de una variable, las sumas tienden a este límite independientemente de cómo se subdividan los intervalos [a, b] y [c, d] que determinan R.

La continuidad de es una condiciónsuficiente pero no necesaria para la existencia de la integral doble. La integral doble también existe para muchas funciones discontinuas pero acotadas.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLEEnunciaremos varias propiedades de las integrales dobles en analogía con las propiedades de la integral definida de funciones de una variable y que son útiles en cálculos y en aplicaciones.

1)
2)
3)4)
5)

INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES

Cuando es positiva, podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular como el volumen del prisma sólido limitado abajo por yarriba por la superficie .
Cada término en la suma es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base

Lasuma n aproxima entonces a lo que llamamos el volumen del sólido.
Definimos este volumen como

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES ACOTADAS NO RECTANGULARES

Para definir la integral doble de una...
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