INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES

Páginas: 3 (626 palabras) Publicado: 5 de junio de 2015
INTEGRALES EN REGIONES POLARES 1
INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES
Hasta el momento hemos tratado integrales dobles en las cuales la región de
integración
es
una
región
rectangular
de
laforma

*(
)
+ o es una región que se encuentra entre

*(
)
dos funciones definida por
( )
( )+. Ahora,
trataremos integrales dobles las cuales se van a evaluar sobre una región
circular o sobre unaregión comprendida entre dos círculos o parte de los
círculos.

Región circular
Se desea encontrar la integral doble ∫ ∫

Región corona circular
(

)

donde R es una región

polar. Lo primero que se debehacer es encontrar los límites de integración en
el sistema de coordenadas polares, asi por ejemplo. Para la región circular

INTEGRALES EN REGIONES POLARES 2

los limites de integración en coordenadasrectangulares son


. al tratar de realizar la integral con estos limites de
integración nos podemos encontrar con integrales las cuales son un poco
complejas para su determinación. Pues laintegral es de la forma


∫ ∫

(

)



Para simplificar este problema, se expresa la región como una región polar y
se determinan los límites de integración en ese sistema.
Para ello se tiene en cuenta quela región circular se obtiene al hacer rotar el
un segmento de recta en torno al origen del sistema.

INTEGRALES EN REGIONES POLARES 3
Al determinar la región mediante la rotación del segmento setiene que la
longitud del segmento varia entre
y el ángulo varia entre
. Como sabemos las expresiones que relacionan las coordenadas rectangulares
y las coordenadas polares son:

Realizandosustituciones la integral queda en la forma:

(

∫ ∫

)

Para poder determinar la integral es necesario encontrar una expresión en
coordenadas polares para el diferencial de área ( dA).
Supóngase que se tiene laregión polar y esta se divide en n subregiones

Tomando una de estas subregiones ,
, se tiene que su forma es
aproximadamente una región rectangular en la cual la base es una diferencial
de arco y...
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