Integrales dobles y triples

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Integrales param´tricas e integrales dobles y triples. e
Eleonora Catsigeras 19 de julio de 2006
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Notas para el curso de C´lculo II a de la Facultad de Ingenier´ ıa.
´ PROLOGO: Este texto es complementario al libro de Burgos sobre funciones de varias variables (referencia [1] de la Bibliograf´ al final de este texto). Fue escrito para ser estudiado despu´s de los cap´ ıa e ıtulos 1, 2 y 3del libro de Burgos y antes de su cap´ ıtulo 4. Est´ dirigido a estudiantes universitarios de grado de las carreras de Ingenier´ que est´n a ıa a cursando C´lculo II. a Se supone conocidos el C´lculo Diferencial e Integral de funciones reales de una variable real a (curso de C´lculo I) y el C´lculo Diferencial de funciones reales de varias variables (los primeros a a tres cap´ ıtulos del libro deBurgos). Los objetivos de este texto son: Estudiar las integrales simples param´tricas (continuidad y derivabilidad respecto al par´metro). e a Introducir el tema de integrales dobles y triples, como integrales iteradas de funciones continuas, antes de estudiar las mismas como integrales de Riemann. Dar ejemplos resueltos de c´lculo de integrales dobles y triples, y del c´lculo de areas y a a ´vol´menes. u El texto est´ dividido en seis secciones tem´ticas que no son independientes, sino que cada a a una presupone conocido el contenido de las anteriores. Para seguir el texto es imprescindible dibujar figuras. Pedimos disculpas por no incluir las figuras en estas notas.

* Instituto de Matem´tica y Estad´ a ıstica Rafael Laguardia (IMERL), Fac. Ingenieria. Universidad de la Rep´blica. uUruguay. Address: Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay.

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Integrales param´tricas e integrales dobles y triples. e

Eleonora Catsigeras.

19 Julio 2006.

´ Indice
Pr´logo. o 1. Integrales param´tricas. e 1.1. Integrales param´tricas con l´ e ımites de integraci´n independientes. . . . . . . . . . . o 1.2. Integrales param´tricas con l´ e ımites de integraci´n dependientes . .. . . . . . . . . o 2. Integrales iteradas dobles. 2.1. Integrales iteradas en dominios simples respecto de x. . . . 2.2. Intercambio del orden de integraci´n en dominios simples. . o 2.3. Integral doble en dominios descomponibles en simples. . . . 2.4. C´lculo de ´reas y vol´menes con integrales dobles. . . . . . a a u 2.5. Teorema del valor medio y desigualdad de Cauchy-Schwarz. 3. Integralesiteradas triples y m´ ltiples. u 3.1. Integrales iteradas triples. . . . . . . . . . . 3.2. C´lculo de vol´menes con integrales triples. a u 3.3. Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Integrales m´ltiples. . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1 3 3 9 12 12 17 28 30 33 36 36 43 45 47 52 52 56 60 63 65 68 68 69 71 73 79 81 82 82 84 94 97 99

4. Cambio de variables en integrales dobles y triples. 4.1. Teorema de cambio de variables. . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ejemplos de cambio de variables. Coordenadas polares en el 4.3. Coordenadas cil´ ındricas en el espacio. . . . . . . . . . . . . 4.4. Coordenadasesf´ricas en el espacio. . . . . . . . . . . . . . e 4.5. Peso de un s´lido dada su densidad puntual. . . . . . . . . . o 5. Integrales dobles de Riemann. 5.1. Sumas de Riemann. . . . . . . . . . . . . . 5.2. Integral de Riemann de funciones acotadas. 5.3. Conjuntos de medida nula. . . . . . . . . . 5.4. Teorema de Riemann-Lebesgue. . . . . . . . 5.5. Teorema de Fubini. . . . . . . . . . . . . . ....
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