integrales dobles
TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.)
e-mail: imozas@elx.uned.es
http://telefonica.net/web/imm
EJERCICIOS DE INTEGRAL DOBLE PROPUESTOS EN EXÁMENES
1º) Obtener el valor de la integral doble I =
(x + y )(x − y )4 dxdy
∫∫ ·
efectuando el
R
u+v
u−v
, siendo R la región del plano limitada por
; y=
2
2
las cuatro siguientes rectas: x + y = 1; x + y = 3 ; x –y = 1 ; x – y = –1 (Septiembre 2002, ex.
or)
Solución.x + y = u y x – y = v, luego el recinto R está limitado por u = 1, u = 3; v = 1, v = –1.
1 1
1
∂ (x , y ) 2 2
1
1 3
4
1
4
=
=− ⇒I=
u·v dudv =
udu v 4 dv =
El jacobiano
1
1
−1
∂ (u , v )
2
2 R
2 1
5
−
2
2
2º) Calcular el volumen que determina la función f (x, y) = x·y sobre el recinto
A = {(x, y) ∈—2 /1 ≤ x2 + y2 ≤ 4,x,y ≥ 0} (Septiembre 2002, ex. res.)
siguiente cambio de variable: x =
∫∫
∫∫ xydxdy =
Volumen =
∫ ∫
(cambiando a polares) =
A
2
∫
2
1
ρ dρ
3
∫
π
2
cos θsenθdθ =
0
π
1 ρ 4 cos 2θ 2 15
= .
=−
2 4 1 2 0
8
3º) Dada la integral doble A =
∫∫ (x
2
+ y 2 ) 2 dxdy donde R es la región comprendida
5
R
2
22
2
entre x + y = 1 y x + y = 9
Se pide
1º Resolver la mencionada integral doble efectuando necesariamente un cambio de
variables a coordenadas polares
2º Dibujar el recinto en que se transforma el recinto inicial R cuando se efectúa la
transformación a coordenadas polares (Enero 2003, ex. or.)
Solución:
1º)
3
2π
3
4372π
x = ρ cos θ
1≤ ρ ≤ 3
6
ρ dρ dθ = 2π ρ 6 dρ =
J=ρ⇒ A=
y = ρsenθ
0 ≤ θ ≤ 2π
7
1
0
1
∫
∫
∫
ρ
2º)
3
1
3
1
0
θ
2π
En coordenadas polares
En coordenadas cartesianas
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4º) Dada la integral doble A =
2
2
∫∫
x( x 2 + y 2 ) 2 dxdy donde R es el primer cuadrante
1
R
2
definido por la ecuación x + y ≤ a .
Se pide
1º Resolver la mencionada integral doble efectuando necesariamente un cambio de
variables a coordenadas polares
2º Dibujar el recinto en que se transforma el recinto inicial R cuando se efectúa la
transformación a coordenadas polares (Enero 2003, ex. res)
Solución:
π
0≤ρ≤a
a2
a4
x = ρ cos θ
3
π
1º)
J = ρ ⇒ A = ρ dρ cos θdθ =
y = ρsenθ
0≤θ≤
0
0
4
2
ρ
}
∫
2º)
∫
a
0
a
0
θ
En coordenadas cartesianas
∫∫
5º) Obtener el valor de la integral doble I =
π
2
En coordenadas polares
xy 2 dxdy
R
Siendo R la región del plano definida por los tres vértices: A(1,1) ; B(2,1) ; C(2,2) (Septiembre
2003, ex. res)Solución.3
1
-1
0
-1
I
C
2
A
1
=
B
2
∫
2
1
3
=
=
∫
2
1
x
xdx ∫ y dy
x3 1
x − dx =
3 3
1
∫
1
2
2
=
∫
x4 x
− dx =
3 3
2
1
x
y3
x dx =
3 1
2
x5 x 2
15 − 6 =
1
47
30
6º) Utilizando necesariamente coordenadas polares, en todo el desarrollo,calcular
cuales serán tanto los límites de integración, como la expresión de la función subintegral, en la
siguiente integral que inicialmente aparece en coordenadas cartesianas:
I = ∫ dx ∫ f (x , y )dy (Septiembre 2004, ex. res)
1
1
0
0
Solución.El recinto de integración es el cuadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1).
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Consideremos los dos triángulos en que es dividido por la diagonal que une (0,0) y (1,1):
(1,1)
(0,1)
1
senβ
1
cos α
β
α
(1,0)
(0,0)
En el primer triángulo, 0 ≤ θ ≤
1
π
y 0≤ ρ≤
; en
4
cos θ
el
segundo
triángulo,
π
π
1
≤θ≤...
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