Integrales Dobles

CÁLCULO VECTORIAL

CAPITULO III

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

¿Cuál es área de R?

INTEGRAL DOBLE
∫∫
R

R
R

f ( x, y ) dA

ROSA ÑIQUE ALVAREZ
Rosa Ñique Alvarez 2

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE
4

¿Cuál es el volumen del sólido?

Calcule el área de la región R limitada por la parábola y = 4 - x2 y las rectas x = 0, x =2.

y = 4- x2 R

2

Respuesta

Area ( R) = ∫ 4 − x 2 dx =
0
Rosa Ñique Alvarez

2

(

)

16 2 m 3
4

Rosa Ñique Alvarez

3

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

OBJETIVO
qEvaluar la integral doble usando el teorema de Fubini. qAplicar las integrales dobles en el cálculo del área de una región plana y volumen de un sólido.VOLUMEN DE SÓLIDO DE BASE R

Rosa Ñique Alvarez

5

Rosa Ñique Alvarez

6

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CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

S: z = f (x, y)

n=16, V≈ 41,5
Rosa Ñique Alvarez 7

n=64, V ≈ 44,875
Rosa Ñique Alvarez

n=256, V ≈ 46,46875
8

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

CÁLCULOVECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

VOLUMEN DE SÓLIDO DE BASE R

f (x, y) ≥ 0

Volumen ≈

∑ f ( xi , yi ) ∆xi ∆yi
i =1

n

Rosa Ñique Alvarez

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Rosa Ñique Alvarez

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CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

Interpretación geométrica: f (x ,y)≥0
f (x, y) ≥ 0
n

Volumen = lim

∆ → 0 i =1

∑

f ( xi , yi ) ∆xi ∆yi

Volumen = ∫∫ f ( x, y)dA
R

∆ : Máxima longitud de la diagonal de los n
rectángulos.

Rosa Ñique Alvarez

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Rosa Ñique Alvarez

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CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

Diferencial de área en coordenadas cartesianas
dA dx dy
dA = dx dy dA = dy dx

Definición de Integral Doble
Si f está definida en una región cerrada y acotada Rdel plano XY, la integral doble de f sobre R se define como

∫∫
R

f ( x, y ) dA = lim

∆ →0

∑ f ( x , y ) ∆x ∆y
i i i i =1

n

i

Supuesto que exista el límite, en cuyo caso se dice que f es integrable sobre R.

Rosa Ñique Alvarez

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Rosa Ñique Alvarez

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CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

Propiedades
Sean f y g continuas enuna región R del plano, cerrada y acotada, y sea c una constante.
1.

Propiedades
3. Sea f continua en una región R del plano, cerrada y acotada.
Si R = R1 U R2 y R1 ∩ R2 = Ø R1

∫∫ c f ( x, y) d A = c∫∫ f ( x, y)dA
R R

R1

R2

2.

∫∫ [ f ( x, y) ± g ( x, y)] dA = ∫∫ f ( x, y) dA ± ∫∫ g ( x, y) dA
R R R Rosa Ñique Alvarez 15

∫∫
R

f ( x, y ) d A =

∫∫ f ( x, y)dA + ∫∫ f( x, y)dA
R1 R2

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CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

EVALUACION DE INTEGRALES DOBLES TEOREMA DE FUBINI

EVALUACION DE INTEGRALES DOBLES TEOREMA DE FUBINI
Sea f continua en una región plana

a≤ x≤b  R:  g1 ( x) ≤ y ≤ g 2 ( x)

entonces:
Guido Fubini (1879-1943)
Rosa Ñique Alvarez 17

∫∫
R

f ( x, y) dA =

∫∫ f ( x, y ) dy d x
a g1 ( x )

b

g2 ( x)

Rosa Ñique Alvarez

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CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

CÁLCULO VECTORIAL a ≤ x≤ b  R:  g1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x )

INTEGRAL DOBLE

y = g2(x)

y = g2(x)

R
y = g1(x) y = g1(x)

a

b

a

b

∫∫
R
Rosa Ñique Alvarez 19

f ( x, y ) dA =

∫ ∫

b g 2( x)

f ( x, y ) dy d x

a g 1 ( x)
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Rosa Ñique Alvarez

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

CÁLCULO VECTORIAL

INTEGRAL DOBLE

EVALUACION DE INTEGRALES DOBLES TEOREMA DE FUBINI
Sea f continua en una región plana

d

h ( y ) ≤ x ≤ h2 ( y ) R: 1 c≤ y≤d 
x = h2(y)

h ( y ) ≤ x ≤ h2 ( y ) R: 1 c≤ y≤d 

x= h1(y) c

entonces:

∫∫
R

d h ( y)
f ( x, y) dA =...