Integrales dobles

´
1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS
´
Consideremos una funcion de dos variables f (x, y)

≥ 0 definida
´
en un rectangulo R = {(x, y) ∈ R ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} y
2

´
TEMA 6: INTEGRALES MULTIPLES

´
acotada en el.
z

Queremos calcular el volumen

´
CALCULO, grupos B y D

z=f(x,y)

´
del siguiente solido:

Curso 2012/2013
c

d y

a
b
x

es decir, de S

={(x, y, z) ∈ R3 ; (x, y) ∈ R, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}

´
TEMA 6: INTEGRALES MULTIPLES – p.

´
1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS

tema 9 – p.

´
1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS
´
´
Para ello, dividimos el rectangulo R en subrectangulos as´:
ı

´
´
¿Cual es el volumen mas sencillo de calcular en R3 ?

dividimos [a, b] en n subintervalos de igual longitud

El de unprisma rectangular.

b−a
´
a traves de los n + 1 puntos xi , i = 0, 1, ..., n.
n
dividimos [c, d] en m subintervalos de igual longitud
d−c
´
∆y =
a traves de los m + 1 puntos yi , j = 0, 1, ..., m.
m
´
´
Tenemos as´ n × m subrectangulos de igual area ∆A = ∆x∆y :
ı
Rij = {(x, y); xi−1 ≤ x ≤ xi , yi−1 ≤ y ≤ yi }, i = 1...n, j = 1...m

´
Nuestro primer paso sera, pues, aproximar elvolumen de S por

∆x =

suma de volumenes de prismas rectangulares.
´

z

z=f(x,y)

y

c

d y

d=y6
y5
y4
y3
y2
y1
c= y0

a
b
x

R 34

a= x 0

tema 9 – p.

x1

x2

x 3 b=x 4

x

tema 9 – p.

´
1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS

´
1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS

´
Escogemos un punto (xij , yij ) en cada subrectangulo Rij :
∗

∗

Lasuma que aproxima V es una suma de Riemann doble:

y

n

d=y6
y5
y4
y3
y2
y1
c= y0

m

V ≈

* *
(x ij ,y ij )

∗
f (x∗ , yij )∆x∆y
ij
i=1 j=1

´
´
Es facil intuir que cuanto mayores sean n y m mejor sera esta
´
ı
aproximacion, y en el l´mite en el que n y m tienden a ∞, si existe:
n
a= x 0

x1

x2

x 3 b=x 4

x

V = lim

z

´
y aproximamos el volumendel solido S

m

n,m→∞

z=f(x,y)

∗
f (x∗ , yij )∆x∆y
ij
i=1 j=1

por la suma de los volumenes de los n × m
´
´
prismas con base Rij de area ∆x∆y
c

y altura f (xij , yij ):
∗

∗

n

d y

a

m

V ≈

b

∗
f (x∗ , yij )∆x∆y
ij

x

i=1 j=1

tema 9 – p.

´
1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS

tema 9 – p.

´
1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS´
DEFINICION DE INTEGRAL DOBLE

Ta

´
Dada una funcion de dos variables f , llamamos integral doble de f en
n

´
el rectangulo R a

m

lim

n,m→∞

´
Al igual que en 1 variable, las funciones discontinuas tambien pueden

∗
f (x∗ , yij )∆x∆y si este l´mite
ı
ij

ser integrables:

i=1 j=1

´
existe. Decimos en ese caso que f es integrable en el rectangulo R, y
n
Rn,m→∞

No exigimos como antes que f

a

T

´
Si f acotada en R es discontinua como maximo en un numero
´

´
finito de puntos y/o de curvas (graficas de funciones continuas)

representamos el l´mite por
ı

=⇒ f es integrable en R

m

f (x, y)dxdy = lim

Si f es continua en R =⇒ f es integrable en R

∗
f (x∗ , yij )∆x∆y
ij
i=1 j=1

´
Con esta definicion de integraldoble y estos teoremas, podemos

≥ 0, as´ que esta integral doble
ı

decir cuando una f es integrable en R, e incluso podr´amos calcular
ı

no siempre representa un volumen.

´
´
una integral a traves de la definicion, pero no es sencillo...

´
Para llegar a esta definicion, se pueden usar otras sumas...
...Podr´amos, por ejemplo, haber usado sumas superiores e
ı
inferiores comohicimos en una variable.
tema 9 – p.

tema 9 – p.

´
1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS

´
1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS

´
Veamos un teorema que nos dice como calcular integrales dobles:

Ejemplos:

Ta de Fubini
d

b

f (x, y)dxdy =
R

R

b

a

´
Solucion:

d

f (x, y)dx dy =
c

(2x − y sin x)dxdy en R = [0, π] × [0, 1].

Calcular

´
Si f es...