Integrales impropias

Instituto Tecnológico de Zacatepec
Ingeniería Industrial
Enero – JuNio 2009

Unidad V

INTEGRALES IMPROPIAS

Introducción

La figura 1, muestra la región bajo [pic] y sobre el intervalo [1,().
La figura 2, presenta la región bajo [pic] y sobre el mismo intervalo.
Calculándose las áreas de las dos regiones, es posible afirmas que el área en la figura 1 es [pic]; desafortunadamente, elsímbolo [pic] aun no tiene significado en ningún libro. La definición de una integral definida [pic] involucra un límite de sumas de la forma
[pic],
donde cada xi-xi-1 es la longitud del intervalo [xi-1, xi]. si se corta el intervalo [1, (] en un número finito de intervalos, entonces por lo menos una sección tiene longitud finita donde x=1 hasta x=b, cuando b>1, y determinar qué le pasa a esenúmero b((. Para hacerlo, se halla primero [pic], así:
[pic]
Entonces,
[pic]
Se concluye que el área de la región en la figura 1 es infinita.
En seguida se examina el área de la región en la figura 2.

Primero se halla
[pic]
Entonces,
[pic]
En este caso, el área es finita. A pesar de que las regiones en las figuras 1 y 2 parecen bastante similares, una tiene área infinita, y la otra, áreafinita. Este contraste sugiere las siguientes definiciones.

Integral impropia convergente [pic]. Sea f continua para x(a. si existe [pic], se dice que la función f tiene una integral impropia convergente desde a hasta (. El valor de ese límite se denota [pic]:
[pic]
Integral impropia divergente [pic]. Sea f una función continua. Si no existe [pic], se dice que la función f tiene una integralimpropia divergente desde a hasta (

Ejemplo.

Determinar el área de la región delimitada por la curva [pic] y el eje x, como se indica en la figura 3.

Solución
El área en cuestión es igual a [pic].
Ahora, [pic]
[pic]
Por simetría, [pic]
Entonces [pic], y el área en cuestión es (.

EL CRITERIO DE COMPARACIÓN PARA [pic]

Teorema 1

El criterio de comparación para laconvergencia de integrales impropias. Sean f(x) y g(x) funciones continuas para x ( a. se asume que 0 ( f(x) ( g(x) y que [pic] es convergente. Entonces, [pic] es convergente y
[pic]

Demostración

Sea [pic] para b ( a. Puesto que f(x) ( 0, se deduce que x1 > x2 e implica que h(x1) ( h(x2). Más aun,
[pic]
Dado que h(b) nunca excede [pic] se deduce que existe[pic] y no es mayor que [pic]. Así,[pic] existe, y
[pic]
En términos geométricos, el teorema 1 afirma que si el área bajo [pic] es finita, también lo es el área bajo [pic].
Un criterio de convergencia similar vale para g(x) ( f(x) ( 0. Si converge [pic].
[pic]
Ejemplo

Demostrar que [pic] es convergente y acotarla.

Solución

Dado que [pic] no tiene antiderivada elemental, no se puede calcular [pic] y usar el resultadopara determinar el comportamiento de [pic] cuando [pic].
Sin embargo, se puede comparar [pic] con una integral impropia de la cual se sabe que converge.
Para x ( 1, x2 ( x; luego, [pic]
[pic]
Ahora, [pic]
Entonces, [pic]
Y [pic] es convergente.
Puesto que [pic] para x ( 1, el criterio de comparación asegura que g es convergente. Además,
[pic]
Luego, [pic]
Como [pic]( 1 para 0 < x( 1, se concluye que
[pic]
Teorema 2

El criterio de comparación para la divergencia de integrales impropias. Sean f(x) y g(x) funciones continuas para x ( a. Se supone que [pic] y que [pic] es divergente. Entonces, [pic] también es divergente.

Demostración

[pic]

Ejemplo

Demostrar que [pic] es divergente.
Solución

Para x > 0,
[pic]
Puesto que[pic], se deduce que [pic]CONVERGENCIA DE [pic] CUANDO CONVERGE [pic]

Teorema 3

El criterio de convergencia absoluta. Si f(x) es continua y [pic] converge a un número L, entonces [pic] también es convergente y lo hace a un número localizado entre –L y L.

Demostración

Se dividirá la función f(x) en dos funciones que no cambien de signo. Esto permitirá utilizar el teorema 2.
La siguiente figura muestra las...