Integrales Impropias

Funciones de variable compleja.

9.

Eleonora Catsigeras.

85

8 Mayo 2006.

Aplicaciones al c´lculo de integrales impropias.
a

Las aplicaciones de la teor´ de Cauchy de funciones anal´
ıa
ıticas para el c´lculo de integrales
a
impropias, se puede resumir como sigue:
+∞
El objetivo es calcular −∞ f (x) dx, para una cierta funci´n integrable f (x) de variable real x
osabiendo que la integral impropia es convergente, y est´ definida como
a
+∞

R

f (x) dx = l´
ım

R→+∞ −R

−∞

f (x) dx

El procedimiento que resumimos a continuaci´n no es aplicable a cualquier funci´n f (x) dada,
o
o
pero es aplicable a algunos ejemplos, como los que se exponen en las subsecciones siguientes:
Paso 1) Cuando la funci´n f (x) para x ∈ R se obtiene restringiendo a z = x∈ R una cierta
o
funci´n f (z ) de variable compleja z ∈ C, se puede completar el segmento [−R, R] en el eje real
o
con un camino de regreso, que puede ser una semicircunferencia SR de centro en el origen y radio
R > 0: SR : z = z (t) = Reit , 0 ≤ t ≤ π . (H´gase un dibujo).
a
Se define as´ una curva cerrada γR = [−R, R] + SR .
ı
Paso 2) Si la funci´n f cumple las hip´tesis correspondientes,podemos aplicar el teorema de
o
o
Cauchy, o las f´rmulas integrales de Cauchy.
o
Por ejemplo cuando f (z ) = g (z )/(z − z0 )k+1 para todo z = z0 de un abierto Ω que contiene
al semiplano {Im(z ) ≥ 0} del plano complejo, (en particular contiene a la regi´n encerrada por
o
γR ); si g (z ) es una funci´n holomorfa en Ω; y si z0 est´ en la regi´n encerrada por γR , se obtiene:
o
a
o
2πig(k) (z0 )
=
k!

γR

g (z )
dz =
(z − z0 )k+1

R

f (x) dx +

f (z ) dz =
γR

−R

f (z ) dz
SR

Y tomando l´
ımite cuando R → +∞, suponiendo que existiera el l´
ımite de la integral de la derecha,
se deduce:
+∞
2πig (k) (z0 )
f (x) dx =
− l´
ım
f (z ) dz
R→+∞ SR
k!
−∞

Nota: Quiz´s haya que descomponer f como suma de varias funciones del tipo f (z ) = g (z )/(z−
a
z0 )k+1 , por ejemplo cuando f es una funci´n racional descompuesta en fracciones simples.
o
Paso 3) Cuando se cumplen las hip´tesis correspondientes, se aplican los lemas de deformaci´n
o
o
de curvas o el lema de Jordan, detallados en las subsecciones pr´ximas, para calcular el l´
o
ımite de
la integral en la semicircunferencia SR .

9.1.

Lema de deformaci´n de curvas y susaplicaciones.
o

Lema 9.1.1. Lema de deformaci´n de curvas.
o
Sea f : C → C continua. Sea SR el arco de circunferencia z = z (t) = Reit , θ1 ≤ t ≤ θ2 .
a) Si l´ z →∞ zf (z ) = L entonces
ım
l´
ım

R→+∞ SR

f (z ) dz = iL(θ2 − θ1 )

b) Si l´ z →∞ zf (z ) = 0 entonces
ım
l´
ım

R→+∞ SR

f (z ) dz = 0

86

Funciones de variable compleja.

Eleonora Catsigeras.

8 Mayo 2006.Demostraci´n: La parte b) se deduce de la parte a) usando L = 0.
o
Para probar la parte a) consideramos
IR =
SR

zf (z ) − L
dz =
z

SR

f (z ) dz − L
θ2

IR =
SR

f (z ) dz − L
f (z ) dz

IR =
SR

θ1

SR

dz
z

Rieit
dt
Reit

− iL(θ2 − θ1 )

Entonces basta probar que IR → 0 cuando R → +∞. Acotando la integral IR se obtiene
|IR | ≤

SR

|zf (z ) − L||dz | (1)
|z |

Como por hip´tesis |zf (z ) − L| → 0 cuando z → ∞, para todo
o
|z | > R0 ⇒ |zf (z ) − L| <

> 0 existe R0 tal que

(2)

En (1) sustituimos la ultima desigualdad (2) , sabiendo que |z | = R para todo z ∈ SR . Resulta:
´
R > R0 ⇒ |IR | ≤

R

donde k = θ2 − θ1 ≥ 0 es constante, y dado
∀

∗

SR
∗

|dz | =

R

(θ2 − θ1 )R = k <

> 0 se elige

∗

> 0 demodo que k <

> 0 existe R0 > 0 tal que: R > R0 ⇒ |IR | <

∗.

Luego:

∗

Por definici´n de l´
o
ımite, la afirmaci´n anterior dice que IR → 0 cuando R → +∞, como quer´
o
ıamos
demostrar.
Ejemplo 9.1.2. Calcular
+∞
−∞

1
dx = l´
ım
2 + 4)2
R→+∞
(x

+R
−R

(x2

1
dx
+ 4)2

Consideremos la curva cerrada orientada en sentido antihorario γR = [−R, R] + SR donde...