Integrales multiples

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Aplicaciones de las integrales dobles.

Las integrales dobles tienen múltiples aplicaciones en física y en geometría. A continuación damos una relación de alguna de ellas.

1. El área deuna región plana R en el plano x y viene dada por una integral doble.

[pic]

2. El volumen V encerrado entre una superficie z = f(x, y)> 0 y una región R en el plano x, y es:[pic]

3. Sea f(x, y) la función de densidad (=masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano x, y. Entonces la masa total de un trozo plano R es:

[pic]

4. Elcentro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x, y donde:

[pic]

5. Los momentos de inercia [pic] e [pic] de la masa de R con respecto a los ejes x e yrespectivamente son:

[pic]

Definición Integrales Triples.

El procedimiento utilizado para definir una integral triple imita el de las integrales dobles. Consideremos una función [pic] detres variables, continua sobre una región solida acotada Q. Superponemos a Q un retículo de cajas y formamos la partición interior con todas las cajas que están completamente de Q. El volumen de lai-ésima caja es:

[pic]

La norma ||∆|| de la partición es la longitud de la diagonal más larga entre las n cajas de la partición. Elegimos un punto [pic] en cada caja y formamos la suma de Riemann[pic]

Tomando el límite para ||∆|| [pic]0 llegamos a la siguiente definición.

Definición

Si [pic] es continua en una región solida acotada Q, la integral triple de f sobre Q sedefine como:

[pic]

Siempre que este límite exista. El volumen de la región solida Q viene dado por

[pic]

Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas.

Muchasregiones comunes, como esferas, elipsoides, conos o paraboloides, dan lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. Tan es así que fue esa dificultad el motivo de la...
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