Integrales

4.1.- DEFINICION DE SERIES

DEFINICION:Una sucesión es un conjunto de términos formados según una ley o regla determinada. Por ejemplo, 1,4,9,16,25
Y 1,-x,x22- x33 ,x44,- x55 con sucesiones
Una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión .Así, de las sucesiones anteriores obtenemos las series 1+4+9+16+25Y 1 –x + x22- x33 +x44,-x55
Cuando el numero de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el numero de términos es limitada, la sucesión o serie se llama una sucesión o serie infinita.
El termino general o termino enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.
EJEMPLO 1 :En la primera sucesión anterior, el termino general o termino enésimo es n2 . El primertermino se obtiene haciendo n=1, el decimo termino haciendo n=10,etc.
EJEMPLO 2 :En la segunda sucesión, el termino enésimo, con exención de n=1 ,es -xn-1n-1
Si la sucesión es infinita, se indica por puntos suspensivos, como 1,4,9…, n2
Factoriales. Una expresión que se presenta frecuentemente en el estudio de las series es el producto de números enteros sucesivos comenzando por1.Asi, 1x 2 x3 x4 x5 es una expresión de esta clase, que se llama factoriales 5.Se entiende que n es un numero y positivo

4.1.1.SERIE FINITA
Cuando el numero de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita, xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de y se verifica es . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), lamultiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

4.1.2.INFINITA

Se le llama serie infinita, a los elementos ak, k=,1,2,3,…, se le llama a los términos de la serie; an se denomino general.se representa en forma compacta comok=1∞ak, 0 bien ak , por conveniencia.
Definición: Si {un} es una sucesión y Sn =u1 + u2 ,… un entonces {Sn} es una sucesión de sumas parcialesdenominada serie infinita y se denota por
n=1+∞un=u1 + u2 + u3 ,… +un +… Los números u1, u 2,u3 … un … son términos de la serie infinita.
EJEMPLO 1:
En las observaciones iníciales de este capitulo se indico que la representación decimal del numero racional 13 es en la realidad, una serie infinita.
310 +310 2 +3103 +k=1∞310k
* SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALESPara cada serie infinita ∑ ak existe una sucesión de sumas parciales {Sn} definida como sigue:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
.
.
.
Sn = a1 + a2 + a3 +… +an
EJEMPLO 2 :
La sucesión de sumas parciales de k=1∞310k es
S1 = 310

S2 = 310 + 3102
S3 = 310 + 3102 + 3103
Sn = 310 + 3102 + 3103 + 310n
En el ejemplo 2 cuando n es muy grande Sn, dará una buenaaproximación a 13 y de esta manera parece razonable escribir 13 =limn→∞k=1n310k =k=1∞310k
Esto conduce a la definición siguiente:
Se dice que una serie infinita k=1∞ak es converge la sucesión de sumas parciales {Sn}; esto es limn→∞k=1∞ak =S .
El numero S es la suma de las serie ,S ; limn→∞Sn no existe , se dice entonces que la serie es divergente
TEOREMA
Si la serie infinita k=1+∞un esconvergente , entonces limn→∞un= 0

4.2.- Serie numerica y convergencia, prueba de la razón (criterio D` ALENBERT) Y prueba de la raíz (criterio de cauchy)

Una serie a n se llama absolutamente convergente si la serie de valores absolutos ∑ │an│ es convergente.
Dada cualquier serie a n se puede considerar la serie correspondiente
n=1∞an│=│a1 │+│a2│+│a3│+bn
Cuyos términos son losvalores absolutos de los términos de la serie original.
Obsérvese que si ∑ an es una serie con términos positivos, entonces │an│= 0,1
Ejemplo 1: La serie
n=1∞-1n2n2=-1 2 2 +13 2 -14 2 +…
es absolutamente convergente porque
n=1∞│-1n-1n2 │=n=1∞1n2=1+ 122 +13 2 +14 2 +…
es una serie ᵨ convergente (ᵨ = 2)

Una serie a n se llama...