Integrales

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INTEGRAL INDEFINIDA

Función primitiva :
Una función F(x) se dice que es primitiva de otra función f(x) cuando F'(x) = f(x)
Por ejemplo F(x) = x2 es primitiva de f(x) = 2x
Otra primitiva de f(x) = 2x podría ser F(x) = x2 + 5 , o en general , F(x) = x2 + C , donde C es una constante .
Por lo tanto una función f(x) tiene infinitas primitivas . Al conjunto de todas las
funciones primitivasse le llama integral indefinida y se representa por
= F(x) + C  F'(x) = f(x)

Propiedades de la integral indefinida :
1ª = +
Ejemplo : = + = x2 + sen x
Demostración :
Por la definición = F(x) + C  F'(x) = f(x)
Por otro lado , queremos demostrar que = + es decir , que si derivamos el segundo miembro nos tiene que salir , por lo tanto:
( + )' = ( )' + ( )' =F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x) c.q.d.

Ejemplo : = 5•Lnx
Ejemplo :

Demostración :
Queremos demostrar que ( )' =
( )' = k • ( )' = k • F'(x) = k• f(x) c.q.d.
Integrales inmediatas :


















Integración por partes :
Puesto que dy = y' • dx las propiedades de la diferencial deben ser las mismas que las de las derivadas , por ejemplo:
d( u+v) = (u+v)' dx = ( u' +v' ) dx = u' dx + v' dx = du +dv
d(u•v) = (u•v)' dx = (u'v+v'u) dx = u'v dx + v'u dx = vdu + udv
Si nos quedamos con esta última propiedad :
d(u•v) = v•du + u•dv  u•dv = d(u•v) - v•du 

Puesto que (salvo una constante que se pone al final ) entonces :


Ejemplo :

u = x  du = dx
dv = e2xdx 
= x• -= x• - + C

Casos que se suelen resolver :


etc.

Integración de funciones racionales I =
Pueden ocurrir tres casos :
1º grado numerador > grado denominador
2º grado numerador = grado denominador
3º grado numerador < grado denominador
Los tres casos se reducen al 3º ya que si recordamos las propiedades del cociente :

P(x) Q(x)

R(x) C(x)
 P(x) =Q(x) •C(x) + R(x)  

donde la integral de C(x) es inmediata y R(x) es un polinomio de menor grado que Q(x) y por lo tanto estamos en el tercer caso .

Ejemplo :
= + C

Para resolver el 3er caso debemos de factorizar el denominador y puede ocurrir :

1º Que el denominador tenga raíces reales simples :


Si igualamos P(x) = se calcula A y B comparando coeficientes o dándolevalores a la x
Al final tendremos :

=

Ejemplo :

= = =
= =
Comparando el principio con el final obtenemos :
A + B + C = -1
A + 3B = 7
A + 2B -C = 9

Con lo que queda : =
= Ln(x+1) + 2Ln(x-1) -4Ln(x+2) + C

2º Que el denominador tenga raíces reales múltiples :


Igualando el principio con el final :
P(x) =
Calculamos los coeficientes A , B , C y D .Resolvemos la siguiente integral :
=
=

Ejemplo :

= =
=
3x +12 =  A = 2 , B=-2 y C=-3
2Ln(x-2) - 2Ln(x+1) -3 + C

3º Que el denominador tenga raíces reales complejas sencillas :
Si al intentar resolver una ecuación de 2º grado nos sale una raíz negativa se dice que no tiene solución real , pero sí compleja .
El denominador complejo debemos de ponerlo de la forma (x-a)2 + b2 yresolver la integral de la siguiente forma :
= a partir de aquí nos saldrá como solución un Ln y una arctg .

Ejemplo :

no tiene raíces reales por lo que igualamos = (x-a)2 + b2 
= x2 -2ax + a2 + b2  a = -1 , b =
= en este caso se ve directamente que A = 1 y B = 3
= = =
=
Esta última integral se resuelve como una arctg :
= = = =
=
Luego la solución final es +C
Ejemplo resumen :
donde tendríamos que calcular A, B, C, D , E y después resolver cada una de las integrales .

Integración por cambio de variable o sustitución
Sea donde a su vez x = g(t)
Si recordamos que la diferencial dy = y' • dx  dy(x) = y'(x) • dx entonces si x = g(t)  dx = dg(t) = g'(t) dt
=
por lo que :

Se pueden presentar los siguientes casos :
1º Tipo...
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