Integrales

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INTEGRALES INDEFINIDAS. Problemas con Soluci´n. o
Nota: En todas las soluciones hay que a˜adir una constante k ya que la primitiva es un conjunto n de funciones que se diferencian entre s´ por una constante. Tan solo se especifica la constante k en ı el primer problema, en los dem´s se sobreentiende pero se omite por brevedad. Tambi´n, utilizamos a e la letra c para una constante de integraci´n.o 1) Calcula las integrales: a) Soluci´n: o 1a) 2x5/2 3 10 x4 3 4 + k; 1b) − 2 + k; 1c) x3/2 + + k; 1d) − x4 + x9/2 + k. 5 2x 3 2 4 9 √ x3 dx; b) 3 dx; x3 c) √ (2x3 + 5 x)dx; d) √ x3 (2 x − 3)dx.

2) Calcula las integrales: a) Soluci´n: o 3 3 1 1 10 3 1 2a)x + x4 + x7 + x10 ; 2b) (1 + x2 )5 ; 2c)9x + 3x2 + x3 + x4 + x5 . 4 7 10 10 3 2 5 3) Calcula las integrales: a) Soluci´n: o 3a) − 1 dx; (2x −1)3 b) √ x−2 x √ dx; 33x c) (2 + 3x)3 dx. 2x (x3 + 1)3 dx; b) x(x2 + 1)4 dx; c) (x + 3)2 (x2 + 1)dx.

1 4 1 1 ; 3b) − x7/6 + x5/3 ; 3c) 9x(4 + 3x + x2 ) + 8 ln x . (2x − 1)2 7 5 2

4) Calcula las integrales: a) Soluci´n: o 4a) − 5) Calcula las integrales: a) Soluci´n: o sen x dx; 1 + cos x b) 2 tan x dx; cos2 x c) 2cos x sen xdx. x dx; (2 + x2 )3 b) cos x sen 2 xdx; c) ln x dx. x

1 1 1 ;4b) sen 3 x; 4c) ln2 x. 2 )2 4(2 + x 3 2

1 2cos x 5a) − ln(1 + cos x); 5b) tan2 x; 5c) − . 2 ln 2 1

6) Calcula las siguientes integrales de modo inmediato o mediante una simple sustituci´n: o a) d) −2x3 dx; 1 + x4 b) xex dx; c) x sen (x2 − π)dx.

g) Soluci´n: o

x 2 x dx; e) √ dx; f ) √ dx. 4 2 1+x 4−x 4 − x2 √ x 2x + 4 (x2 + x + 1)/ xdx; h) √ dx; i) √ dx. 3 2 2 + 4x + 2 6−x x 6a) −

11 2 1 1 ln(1 + x4 ); 6b) ex ; 6c) − cos(x2 − π) = cos(x2 ). 2 2 2 2 √ 1 6d) arctan(x2 ); 6e)2 arc sen(x/2); 6f ) − 4 − x2 . 2 √ 2 √ 3 x(315 + 210x + 189x2 + 90x3 + 35x4 ); 6h) − (6 − x2 )2/3 ; 6i)2 x2 + 4x + 2. 6g) 315 4

7) Halla las siguientes integrales mediante cambio de variable o integrando por partes: a) d) g) j) Soluci´n: o x dx; sen 2 (x2 ) ln2 xdx; e2x cos xdx; 1 dx; 2 (ln x) x cos7a) − e) h) k) b) ln xdx; c) f) i) l) x ln xdx. x2 ex dx. arctan xdx. log2 x 10 dx. x

ex dx; 1 + e2x tan x dx; cos2 x x cos xdx;

1 1 cot(x2 ); 7b)x(ln x − 1); 7c) x2 (2 ln x − 1). 2 4 2 x 7d)x(ln x − 2 ln x + 2); 7e) arctan(e ); 7f )ex (2 − 2x + x2 ).

1 1 1 1 7g) e2x (2 cos x + sen x); 7h) tan2 x + k = + c; 7i)x arctan x − ln(1 + x2 ). 2x 5 2 2 cos 2 3 ln x 7j) tan(ln x); 7k)x sen x + cosx; 7l) . 3 ln2 (10) 8) Calcula las integrales racionales siguientes: a) d) x4 − 9 dx; x+2 x3 dx; (x + 2)3 g) (x2 b) e) 2 dx; −2 + x + x2 2x + 1 dx; x3 + x h) f) c) x3 2x + 1 dx. − x2 − x + 1

x3 dx. 4x3 + 8x2 − x − 2 x2 3x + 1 dx; + 2x + 3

1 dx; + 1)(x2 + 4) 2

Soluci´n: o 2 8a) − 100/3 − 8x + 2x2 − 2x3 /3 + x4 /4 + 7 ln(2 + x); 8b) (ln(x − 1) − ln(x + 2)) ; 3 8c) 1 4 ln(x − 1) − ln(x + 1)− 6 x−1 ; 8d)x − 4(5 + 3x) − 6 ln(x + 2); (x + 2)2

8e)2 arctan(x) + ln x −

1 1 ln(1 + x2 ); 8f ) (60x − 128 ln(x + 2) + 3 ln(2x − 1) + 5 ln(2x + 1)) ; 2 240 √ 1 1 3 x+1 8g) arctan(x) − arctan(x/2); 8h) ln(x2 + 2x + 3) − 2 arctan √ 3 6 2 2

9) Halla las siguientes primitivas de funciones trigonom´tricas: e a) d) g) Soluci´n: o sen 3 xdx; tan3 xdx; b) e) h) cos4 (2x) sen 3 (2x)dx; sen 2 xdx;f) c) cos5 x dx. sen 3 x

sen 2 x cos2 xdx. i) 1 − cos x dx; 1 + cos x

cos2 x dx; 1 + sen 2 x

1 dx; 1 + 3 cos x

3 1 1 1 cos x + cos(3x); 9b) − cos5 (2x) + cos7 (2x); 4 12 10 14 1 1 1 9c) − cos2 x − 2 ln( sen x) − ; 9d) tan2 x + ln(cos x); 2x 2 2 sen 2 √ √ x 1 x 1 9e) − sen (2x); 9f ) − sen (4x); 9g) 2 arctan( 2 tan x) − x; 2 4 8 32 √ √ 1 9h) √ ln 2 + tan(x/2) − ln 2 − tan(x/2) 9i)2tan(x/2) − x 2 2 9a) −

10) Halla las siguientes primitivas de funciones irracionales con los cambios que se indican: a) c) Soluci´n: o √ r2 − x2 dx; x = r sen t; x = 2 sec t; d) b) √ x2 √ 1 dx; 4 + x2 x = 2 tan t;



x2 dx; x2 − 4

x2 dx; 2x − x2

x − 1 = 2 sen t;

√ √ 1 √ 2 4 + x2 2 10a) x r − x2 + r arctan(x/ r2 − x2 ) ; 10b) − ; 2 4x √ √ 1 √ 1 3 10c) x x2 − 4 + 2 ln |x + x2 − 4|;...
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