Integrales

GUÍA: INTEGRALES

Elaborado por Marina Salamé S.

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1. INTEGRALES
1.1 La Integral Indefinida.
1.1.1 Conceptos Básicos Sea y = f(x) derivable respecto a x en D. Tenemos entonces que
, , dy = f (x) o dx

dy = f (x) dx , es decir, hemos encontrado la derivada y la diferencial de la función y = f(x) respecto a: x. También, a cada función y = f(x) le corresponde una únicafunción derivada: f (x) o una única diferencial dy = f (x) dx . Considerando el proceso inverso: dada f (x) o dy = f (x) dx si queremos encontrar y = f(x) obtendremos infinitas funciones cuya derivada es f (x) o cuya diferencial es f (x) dx .
, , , , , ,

Ejemplo

1: A y = f(x) = 3x2 + 5 le corresponde una única función derivada f (x) =

,

6x o una única diferencial dy = 6x dx respecto a xen

, pero esta 3x2 + 5,

derivada o diferencial lo es de infinitas funciones, como ser: 3x2 + 6, 3x2 – 5, 3x2 +

1 ,........., 3x2 , funciones que difieren entre sí 2

solo en la constante aditiva. Notemos que 3x2 es la más simple de ellas y que si C es una constante 3x2 + C representa a todas las funciones anteriores para los distintos valores que asignemos a C. Las consideracionesanteriores conducen a los siguientes hechos. Dada f (x) o dy = f (x) dx , el hecho de encontrar y = f(x) se llama Integrar f (x) o Integrar f (x) dx , lo que se anota:
, , , ,

∫ dy = ∫ f (x) dx
,

Es decir: y = f (x) dx

∫

,

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Tenemos entonces que “ la notación
,

∫ f (x) dx representa a todas las funciones que al ser
,

,derivadas respecto a x dan f (x) , o a todas las funciones cuya diferencial es f (x) dx”. En

∫ f (x) dx , ∫
,

es el símbolo de la integral, dx: Que es la diferencial de la variable

independiente, indica la variable respecto de la cual se ha derivado la función para obtener f (x) o f (x) dx, y respecto de la cual hay que integrar. La función f (x) ubicada entre los dos símbolos anteriores sellama La función Integrando. La función que se obtiene al integrar
, , , ,

∫ f (x) dx

,

se llama la Integral Indefinida, La

Antiderivada o la función Primitiva de f (x) en D, y corresponde a un conjunto de infinitas funciones (cada una de ellas es una integral indefinida o una antiderivada o una función primitiva) que difieren entre sí únicamente en una constante aditiva llamada LaConstante de Integración . “Si f(x) es una integral indefinida de f (x) en D entonces f(x) + C denota a todas las integrales indefinidas de f (x) en D:
, ,

∫ f (x) dx = f(x) + C
,

Observación :

dy = f (x) dx

,

entonces

∫ dy = ∫ f (x) dx
,

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1.1.2 Tablas de Integrales Básicas

Basados en los teoremas sobre derivación, podemosestablecer:

1) 2) 3) 4)

∫ dx = ∫ 1 dx = x + C ∫ k dx = kx + C ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x)dx ∫ ( f(x) + g(x) −
∫
xr dx =

k :cons tan te k :cons tan te

h(x) ) dx =

∫ f(x)dx

+

∫ g(x)dx
r ≠ −1

−

∫ h(x)dx

5)

x r +1 +C r +1

, r∈ ,

6)

∫ x dx = ln x + C
∫
a x dx =
x

1

7)

ax + C lna

a∈

+

8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)

∫e

dx = e x + C dx = − cosx + C dx = sen x + C dx = ln sec x + C dx = ln sen x + C dx = ln sec x + tan x + C dx = ln co sec x − cot x + C

∫ sen x ∫ cos x ∫ tan x ∫ cot x ∫ sec x

∫ co sec x

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15) 16)

∫ sec

2

x dx = tan x + C
2

∫ − co sec x dx = cot x + C 2 ∫ co sec x dx = − cot x + C ∫ sec x ⋅ tan dx = sec x +
C C C

17) 18)

∫ − co sec x ⋅ cot xdx = co sec x + ∫ co sec x ⋅ cot x dx = − co sec x +
∫ ∫− ∫
1 1− x 1
2

19)

dx = arc s en x + C

20)

dx = arc cos x + C 1− x 2 1 dx = − arc cos x + C 1− x 2 1 dx = arc tan x + C

21)

∫ 1 + x2
1

22)

∫ − 1 + x2 ∫x ∫−x
1

dx = arc co t x + C

23)

x2 − 1 1

dx = arc sec x + C

24)

x2 − 1

dx = arc co sec x + C

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