Integrales

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Resumen sobre: Integrales
Elaborado por: Prof. A. Patricia Vásquez H. Gráficas de:
http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_y_funci%C3%B3n_primitiva

Repaso de las fórmulas de derivación
Función : primitiva de función : derivada de

Suponga que nos piden encontrar una función F, cuya derivada sea que conocemos de derivadas, la función F debe ser corresponde a .

. Por lo

, ya que suderivada

La función F se llama una primitiva o anti derivada de la función f. Se dicen que F es una primitiva de f y no que es la primitiva de f, ya que F(x) podría ser cualquiera de las siguientes:







y como F(x) podría estar acompañada de una constante cualquier, se llama entonces a la función F(x) de la forma donde “c” se llama constante de integración.

Esta operación dehallar todas las anti derivadasde llama integración indefinida y se Variable se denota por: integración Símbolo de Constante de integración integración

Función a integrar

Primitiva o anti derivada

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + c, donde c es cualquier constante real. Paraencontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla en funciones elementales, cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas o aplicando las siguientes propiedades de integración:



(Para integrar expresiones con

exponentes)



(Para integrar una exponencial)



(Para integrar la expresión )



(Para integrar unaconstante)

Ejemplos #1
Hallar la siguiente integral:

#2
Hallar la primitiva de , sabiendo que F(2) = 3

(Recuerde que f(x) es la derivada de la función original F(x)) Solución:

Tomando en cuenta la información que F(2) = 3, podemos hallar el verdadero valor de la constante de integración “c”. Veamos: F(2) =

La expresión anterior es igual a 3, así:

Por lo tanto, la solución de laintegral inicial se escribe por:

Integral definida
Se llama integral definida de una función f(x) entre los valores “a” y “b” (en el eje x), a la integral que tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el área entre la curva de la función f(x) y dos rectas verticales en “x = a” y en “x = b”. En la figura siguiente se muestra como el área seleccionada de color verde.

ab

Hallar el área bajo la gráfica es equivalente a calcular la integral desde la recta vertical x=-2, hasta la recta vertical x=4. Esto se expresa como:

Una vez que se encuentra la función F(x) integrada, entonces procedemos a evaluarla en los valores de “x”, de la manera:

El cálculo de dicha área, se realiza mediante el llamado y conocido Teorema Fundamental del Cálculo, que ha sidoenunciado anteriormente y que debe cumplir que la función sea continua en el intervalo de integración, es decir .

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo, también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre lacurva de f y las rectas en el eje de las x. Veamos un ejemplo de lo expresado anteriormente:

Propiedades importante


Si a < b < c, entonces

se puede expresar como:



Si a > b, entonces podemos aplicar la siguiente propiedad para calcular la integral:



Si la integral debe ser evaluada en un mimo punto, entonces:



La integral de una función impar es siempre par En efecto,como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

 La integral de una función par es impar, siempre y cuando F(0)=0 En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero...
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