integrales

Se desea cercar un terreno que tiene la forma de la función Y=raíz de X.hallar la cantidad de alambre que se necesitan en metro (Acotando la función de (0,10))
Bueno, pues lo hacemos como creo quepodría ser. Ya te digo que las dudas me vienen de la frase "Acotando la función de (0,10)" que supongo quiere decir con por entre 0 y 10.
Para empezar no es un área tal como pones en el titulo,sino una longitud. Al menos yo entiendo eso, hacer el borde de alambre.
Si te piden resolver este problema es porque has estudiado que una de las aplicaciones de las integrales definidas es elcálculo de longitudes de funciones. En el apartado correspondiente te prondrá que la fórmula a utilizar es:
Longitud de f(x) entre a y b = $(a,b) sqrt(1+ f'(x)^2)dx
Eso será unicamente la rama superior.Si hubiese que alambrar esa misma figura simétrica por debajo del eje por sería 2 veces esa longitud. Si hubiera que alambar también la línea vertical final sería todo la anterior +2·sqrt(10).Bueno, vamos con lo complicado:
f(x) = sqrt(x) = x^(1/2)
f'(x) = (1/2) x^(-1/2)
[f'(x)]^2 = (1/4)[x^(-1/2)]^2 = 1/4(x^(-1)) = 1/(4x)
sqrt(1+[f'(x)]^2) = sqrt (1+1/(4x)) = sqrt ((4x+1)/4x)
Yesto es lo que hay que integrar entre 0 y 10.
$(0,10) sqrt (1+1/(4x)) dx
Según Maxima y Maple el resultado es 10.76017314
Evidentemente quieren que lo hagamos a mano, pero ahí está la soluciónpor si hiciera falta.
Mi milenario libro de cálculo diferencial e integral de Piskunov habla de la integración de funciones irracionales y propone el cambio:
t^2 = 1+1/(4x) que nos hará que lo quehay en integrando sea sqrt(1+1/(4x)) = t
y además
t^2-1 = 1/(4x)  ==> 4x = 1/(t^2-1) ==> x = 1/(4(t^2-1))
dx = -8t/[16(t^2-1)^2] = -t / [2(t^2-1)^2]
para x = 0,  t ->infinito
para x= 10, t= sqrt(41/40)
Por el momento vamos a dejar de arrastrar los límites de integración y hago simplemente la integral indefinida.
Y haciendo el cambio queda:
$ t (-t)/[2(t^2-1)^2]] dt =(1/2)...