integrales

Cambio de variable (sustitución)
En esta técnica se observa la integral y se propone una nueva variable que al sustituirse en la integral la hace mas simple
y es posible resolverla mediante las formulas básicas.
La propuesta de la nueva variable no tiene reglas establecidas, es la experiencia la que le permitirá establecer la
propuesta adecuada, sin embargo se puede sugerir que considerealgunos de los siguientes como primera opción para la
propuesta (en caso de ser necesario deberá probar varias propuestas antes de la indicada)
•

Funciones elevadas a una potencia

•

Funciones como denominadores

•

Funciones dentro de una raíz

•

Funciones trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas

•

Argumentos de relaciones trigonométricas

•

Argumentos delogaritmos

•

Argumentos de funciones exponenciales

•

Argumentos de funciones trigonométricas inversas

•

Argumentos de funciones hiperbólicas

Una vez que ha establecido la propuesta, se obtiene la diferencial de la nueva variable, se sustituye tanto la propuesta
como su diferencial en la integral, la cuál deberá simplificarse en poco pasos (tal vez sea necesario un poco demanejo
algebraico para lograrlo), entonces se aplican las formulas de integración básicas.
Nota 1: es posible que en algunas integrales se realice el método de forma iterada, es decir, sera necesario realizar
varias sustituciones.
Nota 2: Es importante que quede claro que se obtiene la diferencial de la función propuesta, vea el siguiente ejemplo

(

Sea la función y = x 2 + 5 x
Obtenga suderivada y ' =

)

10

10
9
9
d2
( x + 5) = 10 ( x 2 + 5) ( 2 x ) = 20 x ( x 2 + 5)
dx

(

De la misma función obtenga la diferencial dy = d x 2 + 5 x

)

10

(

)

= 20 x ( x 2 + 5 x ) dx
9

Para los ejemplos que se muestran a continuación tenga presente las formulas de las paginas23, 33, 35, FM-8, FM-9

1

Ejercicio 4

∫ (7 − x)

49

dx

Se observa elbinomio elevado a una potencia (49), como desarrollar la potencia es poco práctico, se hace la siguiente
propuesta

u = 7 − x de donde se obtiene la diferencial du = −dx ∴ dx = −du
Al sustituir el integral se tiene

∫ (7 − x)

(7 − x) + C
u 50
dx = ∫ u ( −du ) = − ∫ u du = −
=−
50
50
50

49

49

49

2

Ejercicio 8

∫ sin 2θ cos

4

2θ dθ

Observe la potencia de larelación coseno de tal manera que se propone

u = cos θ
Al obtener la diferencial se tiene du = −2 sin 2θ dθ ∴ dθ = −

du
2sin 2θ

al sustituir se tiene
5
( cos 2θ ) = − cos5 2θ + C
du
1
u5
1u
sin 2θ cos 2θ dθ = ∫ sin 2θ u
= − ∫ u 4 du = −   = − = −
∫
−2sin 2θ
2
10
10
10
2 5
5

4

4

3

Ejercicio 10

∫

tan x sec2 xdx

En este caso se observa la función queestá dentro del radical y esa será la propuesta
u = tan x
obtener la diferencial
du = sec 2 xdx
u 2 2u 2 2 ( tan x )
udu = ∫ u du =
=
=
3
3
3
2
3

∫

tan x sec xdx = ∫
2

1

2

3

3

2

+C

4

Ejercicio 12

x

∫ 5 cos 2dx
Se observa el argumento de la función coseno, la propuesta realizada es
x
2
obtener la diferencial

u=

du =

dx
∴ dx = 2du
2x

x

x

∫ 5 cos 2dx = 5∫ cos 2dx = 5∫ cos u 2du = 10∫ cos udu = 10sin u = 10sin 2 + C

5

Ejercicio 14

∫ sin ( 2 − 3x ) dx
En este caso la propuesta es el argumento de la relación seno (ángulo)

u = 2 − 3x
Al obtener la diferencial se tiene

du = −3dx ∴ dx = −

du
3

Al sustituir en la integral se tiene

1
1
1
 du 
 = − ∫ sin udu = cos u = cos ( 2 − 3 x ) + C
33
3
3

∫ sin ( 2 − 3x ) dx = ∫ sin u  −


6

Ejercicio 16
1
cos  
 x
∫ x 2 dx

De manera intuitiva se propone que la variable sea el argumento del la función coseno
1
x
diferencial

u=

du = −

dx
∴ dx = − x 2 du
x2

Al sustituir en al integral se tiene
1
cos  
 1  dx 
1
 x
 

∫ x 2 dx = ∫ cos  x  x 2  = ( −1) ∫ cos udu = sin u...