Integrales

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Capítulo 7

Integrales impropias
7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
El concepto de integral se extiende de manera casi espontánea a situaciones más generales que las que hemos examinado hasta ahora. Consideremos, por ejemplo, la función no acotada f : (0, 1] → R, f (t) = logt.

Puesto que f es continua, para cada x ∈ (0, 1] existe su integral en [x, 1], que vale
1 xf=

1 x

logt dt = [t logt − t]t=1 = −1 − x log x + x; t=x
1

y como
x→0

l´m+ ı

x

f = l´m+ [−1 − x log x + x] = −1, ı
x→0 1 0

parece natural escribir, simplemente, f = −1.

Igualmente, si en el intervalo no acotado [0, +∞) tomamos la función continua f (t) = e−t , para cada x ∈ [0, +∞) tenemos
x 0 x→+∞ 0 x

f=

x 0

e−t dt = [−e−t ]t=x = −e−x + 1, t=0

l´m ıf = l´m −e−x + 1 = 1, ı
x→+∞ +∞ 0

lo que sugiere escribir e−t dt = 1.

Siguiendo estas ideas podemos definir en distintas situaciones una integral generalizada o integral impropia, lo que nos llevará a estudiar diferentes tipos de condiciones que permitan asegurar su existencia. 161

162

Capítulo 7. Integrales impropias

7.1.1.

Integrales impropias: definición de integralesimpropias convergentes, divergentes, oscilantes

Definición 7.1.1. Sea A ⊆ R. Se dice que una función f : A → R es localmente integrable en A si es integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en A. Por ejemplo, todas las funciones continuas y todas las funciones monótonas, acotadas o no, son localmente integrables. Obsérvese que si −∞ < a < b ≤ +∞, una función f es localmente integrable en[a, b) si y solo si es integrable en cada intervalo [a, x] ⊆ [a, b). Análogamente, si −∞ ≤ a < b < +∞, una función f es localmente integrable en (a, b] si y solo si es integrable en cada intervalo [x, b] ⊆ (a, b]. Consideremos en primer lugar funciones definidas en intervalos del tipo [a, b), donde b es finito o +∞. Definición 7.1.2. Dada una función f : [a, b) → R localmente integrable, −∞ < a < b ≤+∞, si existe el límite x l´m− ı f (t) dt (7.1)
x→b a

y es finito, decimos que la integral impropia f es convergente, y al valor de dicho límite lo llamamos integral impropia de f en el intervalo [a, b); se denota por ab f . Si el límite (7.1) existe, pero es +∞ o −∞, decimos que la integral impropia diverge a +∞ o −∞, y si no existe el límite decimos que la integral impropia no existe, o queno tiene sentido, o que es oscilante (esta última denominación se reserva en algunos textos para otro concepto distinto). Si la integral impropia de una función en un intervalo es convergente se dice que la función es integrable en sentido impropio en dicho intervalo. De manera enteramente análoga puede definirse la integral impropia de una función en un intervalo (a, b], −∞ ≤ a < b < +∞: Definición7.1.3. Dada una función f : (a, b] → R localmente integrable, −∞ ≤ a < b < +∞, decimos que la integral impropia ab f es convergente si existe el límite
b x→a

b a

l´m+ ı

x

f (t) dt

(7.2)

y es finito, y al valor de dicho límite lo llamamos integral impropia de f en el intervalo (a, b]; se denota por ab f . Si el límite (7.2) existe, pero es +∞ o −∞, decimos que la integral impropiadiverge a +∞ o −∞, y si no existe el límite decimos que la integral impropia no existe, o no tiene sentido, o que es oscilante. La definición de integral impropia de funciones localmente integrables en intervalos abiertos puede hacerse mediante límites en dos variables o reduciéndola a las definiciones anteriores del siguiente modo: Definición 7.1.4. Dada una función f : (a, b) → R localmenteintegrable, −∞ ≤ a < b ≤ +∞, decimos que la integral impropia ab f es convergente si existe un c ∈ (a, b) tal que ac f y cb f son ambas convergentes; en ese caso, se define
b a

f=

c a

f+

b c

f.

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

163

Del siguiente resultado (y de su análogo para intervalos semiabiertos por la izquierda) se deduce que en esta definición es...
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