Integrales

Integral.
Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.
Por conveniencia se introduce una notación para la antiderivada de una función.


Si F!(x) = f(x), se representa


A este grafo ∫ se le llama símbolo de la integral y a la notación ∫fx dx se le llama integral indefinidade f(x) con respecto a x. La función f(x) se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama conste de integración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.
∫f x dx
Esto se lee integral de fx del diferencial de x.
Métodos deintegración:
Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que F(x) = ∫ f (x) dx, lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallaruna función F(x) tal que f(x) es su derivada:
.






Generalidades.
El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más complicado que el problema de calcular de la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales de hechono es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental F(x) que sea tal que:

Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva pude resolverse con problemas elementales llamados métodos de integración como los tratados a continuación.Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la anti derivada. La integración directa requiere una confeccionar una tabla defunciones y sus anti derivadas o funciones primitivas.
Ejemplo:
Calcular la integral indefinida .
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de es .
Por tanto:
Ejemplo:
Calcular la integral indefinida .
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo, la solución del problema es .
No obstante, puesto que la función esta definida en los númerosnegativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln (|x|)
Funciones analíticas:
El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que:

Método de integración por sustitución.
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa enrealizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
Ejemplo:
Suponiendo que la integral a resolver es:

Enla integral se reemplaza con ( ):
(1)
Ahora se necesita sustituir también para que la integral quede sólo en función de :
Se tiene que por tanto derivando se obtiene
Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):



Simplificando:

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de...