Integrales

Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales

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Temas 28, 29 y 30: Integrales indefinidas y definidas
Primitiva de una función; métodos de integración: por partes, por cambio de variable, integración de funciones racionales y de funciones trigonométricas; integral definida; la integral como área

Primitiva de una función; integración
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Del mismo modo que sacar la raízcuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado, integrar es la inversa de diferenciar (o, si se quiere, de derivar). Integrar consiste en, dada una función derivada, calcular la función primitiva que al derivarla produce esa función derivada original. Por ejemplo, supongamos que nos dicen que f x 6x 2 es la derivada de cierta función, y nos piden calcular cuál era esa función primitiva. Estáclaro que era f x 2x 3 ; la prueba 3 2 es que al derivar f x 2x obtenemos f x 6x . En realidad hay un número infinito de funciones primitivas que al derivarlas dan f x 6x 2 ; así, por citar tres ejemplos: f x 2x 3 3, f x 2x 3 4 , 5 4 a 3 fx 2x . Como observamos, la única diferencia entre todas ellas es un número (3, - 5 , etc.). 4 Para tener esto en cuenta, siempre que integremos agregaremos alresultado la constante k . Simbolismo de la integral
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En el capítulo dedicado a las derivadas comentamos que la forma más correcta de expresar la derivada de una función f x es dfdxx (aunque admitíamos la simplificación f x ). Supongamos el ejemplo anterior: la derivada de una función f x es 6x 2 y queremos conocer cuánto vale la función.Eso lo simbolizaremos así: 6x 2 Para calcular f x procedemos así (despejando primero df x y realizando luego la operación integral (que se representa con el símbolo ) en los dos miembros): df x 6x 2 dx df x 6x 2 dx Una integral y una diferencial se anulan (como una raíz cuadrada se anula al elevarla al cuadrado), y por tanto el primer miembro queda simplemente f x . Por lo tanto, una expresión deltipo f x 6x 2 dx es la que encontraremos siempre que nos planteen resolver una integral. Hay que tener en cuenta que lo que hay que integrar es ”6x 2 ”, haciendo ”caso omiso” a ”dx”, cuya aparición en la integral acabamos de explicar. La operación, con todo lo visto, queda así:
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df x dx

fx
¢

6x 2 dx

2x 3

k

Integralesinmediatas

Hay integrales que se resuelven de forma inmediata, como la anterior. En general, las integrales polinómicas son muy sencillas. Hay una regla simple para integrar monomios, que es:
¥  ¥ ¤

x n dx


xn 1 n 1

k

Otra regla a tener en cuenta es que cuando una constante (un número) multiplica al resto de una función, la constante puede sacarse de la integral directamente; porejemplo:
¥ ¤ ¥ ¤  ¤

6x 2 dx


6 x 2 dx

6x 3

3

k

2x 3

Y una tercera regla importante es que la integral de una suma de funciones (o una resta) es la suma (o resta) de las integrales (no pudiéndose aplicar regla parecida a productos o cocientes). Con todo ello debe quedar clara la resolución de la integral del siguiente ejemplo:
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6x 2
¢

5x

1 dx

2x 3

5x2 2

x

(Comprobar si una integral está bien hecha es fácil: basta derivar la expresión obtenida para ver si se obtiene la original; así, la derivada de 2x 3 5 x 2 x k está claro que es 6x 2 5x 1) 2
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£

¢

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¢



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¢

k

k

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—Veremos una integral inmediata típica que aparece a menudo y que se relaciona con el logaritmoneperiano: si nos dan para integrar un cociente y el numerador es la derivada del denominador, entonces la integral es inmediata: es el ln del denominador. Por ejemplo:


En muchos casos nos enfrentamos con integrales de este tipo que no son completamente inmediatas, pero ”casi” si hacemos alguna sencilla manipulación algebraica previa que tenemos que idear. Por ejemplo: en este caso el numerador...