Integrales

∑β

≥2≤-9∞ 23e-tiθ+log10 33453


Ω

e-tiθ+ln10 33453
Las Ecuaciones polares de base logarítmica se comportan según la integral enésima
INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES



Algunas integrales dobles son mucho más fácil de calcular en forma polar que en forma rectangular. Esto es especialmente cierto para regiones circulares, enforma de cardioide o de pétalo de curvas de rosa, y para integrados donde aparezca x2 +y2.


La relación entre Las coordenadas polares ( r, 0 ) y las rectangulares ( x,y ) de un punto, a saber



X = r cos 0 e y = r sen 0
R2 = x2 + y2 y tg 0 = y/x



Para definir la integrar doble de una función continua = f ( x,y) en coordenadas polares, consideremos una región R acotada por las graficas de r = g 1 ( 0 ) y r = g2 ( 0 ) y por las rectas 0 = x 0 = B. En vez de dividir R en pequeños rectángulos, la dividimos en pequeños sectores polares formado por semirrectas radiales y círculos. Los sectores polares R1 cuya norma // A // es la diagonal más grande entre todas las de sus sectores polares.+ 2
K ( 256 – 256 x2 + 96x4– 16x6+ x8 ) d x
=-2 - 2
4



= k 256x3 96x5 -16x7 x9
- + - +
4 3 57 9



= 32.768 k

* Determinar el volumen del sólido acotado por el plano y el paraboloide

Resolviendo:

Después de Integrar:

Ejemplo # 3
Calcular el volumen de un sólido que está debajo del paraboloide , encima del plano y dentro del cilindro .

Complementando al cuadrado:

Ahora procedemos a integrar:

Encuentre la masa y elcentro de masa de un triangulo con vertices en . Densidad


La densidad en cualquier punto en una lamina semicircular es proporcional a la distancia al centro. Encuentre el centro de masa.


Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,...,xn)y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una región T en el plano x1x2 es igual a algúna integral doble, si es que la función f está definida en región T.
Se puede dividir laregión T en una partición interior Δ formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma | | Δ | | de esta partición está dada por la diagonal más larga en las m subregiones.
Si se toma un punto (x1i,x2i,...,xni) que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones Δx1iΔx2i...Δxni para cada una de las m subregiones de la partición, sepuede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,...,xn) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,...,xn) y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacioscorrespondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo existe un δ > 0 tal que

para...