integraless deosioa

Formulario de integrales
c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis
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Creative Commons Atribuci´n 2.1 Espa˜a.
o
n
S´ptima revisi´n: Febrero
e
o
Sexta revisi´n: Julio
o
Quinta revisi´n: Mayo
o
Cuarta revisi´n: Mayo
o
Tercera revisi´n: Marzo
o

1.
1.1.
1.1.1.

Integrales indefinidas
Funciones racionales eirracionales
Contienen ax + b

1
(ax + b)n+1 + C,
a(n + 1)

(1)

(ax + b)n dx =

(2)

dx
1
= ln |ax + b| + C
ax + b
a

(3)

dx
1
x
+C
= ln
x(ax + b)
a
ax + b

(4)

1
1
dx
=− ·
+C
2
(1 + x)
1+ x

(5)

1
2
1
1
xdx
=− ·
−
·
+C
(1 + bx)3
2b (1 + bx)2
2b 1 + bx

1.1.2.

Contienen

(6)

(7)

√

ax + b

√
2(3bx − 2a)(a + bx)3/2
+C
x a +bxdx =
15b2
√
x
2(bx − 2a) a + bx
√
dx =
+C
3b2
a + bx

1

n=1

2005
2003
2002
2001
2001

(8)

(9)

dx
=
x a + bx
√

√


1
 √ ln
a

√
√
√a+bx−√a + C,
a+bx+ a
 √2 arctan a+bx + C,
−a
−a

√
a + bx
dx = 2 a + bx + a
x

1.1.3.

dx
1
x
= arctan + C,
a2 + x2
a
a

a0

(11)
1.1.4.

(x2

a>0

xdx
1
=√
+C
2 )3/2
2 ± a2
±a
xContienen a2 − x2 ,
x
2

x0

dx
x
= √
+C
2 )3/2
2 a2 − x2
−x
a

Contienen

(15)

a 2 − x2 +

1
x a2 ± x2 + a2 ln x + a2 ± x2 + C =
2
√
1
a2
2
2
(+)
2 x√a + x + 2 arcsenhx + C
2
1
x a2 − x2 + a arccoshx + C (−)
2
2
1 2
(x ± a2 )3/2 + C
3

1
2
x2 + a2 dx = ( x2 − a2 )(a2 + x2 )3/2 + C
5
5

x2 − a 2
dx =
x

x2 − a2 − a · arc cos

(19)

√

dx
x
= a· arcsenh + C
a
x2 + a 2

(20)

√

x2

(21)

1
a
dx
= arc cos
+ C,
2 − a2
a
|x|
x x

dx
= ln x +
− a2

a
+C
|x|

x2 − a2 + C = arccosh

√

2

(a > 0)

x
+ C,
a

(a > 0)

(22)
(23)
(24)

xdx
= x2 ± a 2 + C
x2 ± a 2
√
(a2 + x2 )3/2
x2 ± a 2
dx =
+C
4
x
3a2 x3
x2
x
dx =
2 − a2
2
x

(25)

√

1.1.6.

Contienen

x2 − a 2 −

a2x
arccosh + C
2
a

a2 ± x2
1
x
2

a2 − x2 −

a2
x
arc sen + C,
2
a

(a > 0)

1
a2 ± x2 dx = ± (a2 ± x2 )3/2 + C
3

(27)

x

(28)

x2

(30)

√

a2 − x2 dx =

(26)

(29)

√
x2 ± a 2
+C
a2 x

dx
√
=
2 x2 ± a 2
x

x
a2
x
(2x2 − a2 ) a2 − x2 +
arc sen + C,
8
8
a
√
√
a2 ± x2
a + a2 ± x2
dx = a2 ± x2 − a ln
+C
x
x
√
− a2 − x2
dx
√=
+C
a2 x
x2 a 2 − x 2
a2 − x2 dx =

dx
x
= arc sen + C, a > 0
2
a
−x
√
dx
1
a + a2 − x2
√
+C
= − ln
a
x
x a2 − x2
√

a2

(33)

√

x
dx = ±
a2 ± x2

(34)

√

a2

(35)

√

a2

1.1.7.

Contienen ax2 + bx + c

(31)
(32)

(36)

x2
x
dx = ±
2
2
±x

a 2 ± x2 + C

dx
= ln x +
+ x2

x
a2
arc sen + C,
2
a

a 2 ± x2

a2 + x2 + C =arcsenh

a>0

x
+ C,
a

a>0


√
2ax+b− b2 −4ac
 √ 21
 b −4ac ln 2ax+b+√b2 −4ac =


 √ 2
dx
= b2 −4ac arctanh √2ax+b + C, b2 > 4ac
b2 −4ac
=
ax2 + bx + c  √ 2
b2 < 4ac
 4ac−b2 arctan √2ax+b 2 + C,

4ac−b


2
b2 = 4ac
− 2ax+b + C,
3

a>0

(37)

(38)

(39)

1.1.8.

x
1
b
dx =
ln ax2 + bx + c −
ax2 + bx + c
2a
2a

dx
+C
ax2 + bx + cx · dx
bx + 2c
= 2
+
n
+ bx + c)
(b − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
b(2n − 3)
dx
+ 2
, n = 0, 1,
2 + bx + c)n−1
(b − 4ac)(n − 1)
(ax

(ax2

b2 < 4ac

2ax + b
dx
=
+
(ax2 + bx + c)n
−(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
2a(2n − 3)
dx
+
, n = 0, 1, b2 < 4ac
−(b2 − 4ac)(n − 1)
(ax2 + bx + c)n−1
Contienen

√

ax2 + bx + c

(40)
ax2 + bx + cdx =
(41)

(42)

(43)(44)

2ax + b
4a

a 0 + a 1 x + . . . + a n xn
√
dx
ax2 + bx + c
√

ax2

ax2 + bx + c +

√

ax2

dx
+ bx + c

Ver §3.5, p´g. 11: m´todo alem´n
a
e
a

√
dx
1
= √ ln 2ax + b + a ax2 + bx + c + C =
a
+ bx + c
 1
2ax+b
∆ < 0, a > 0;
 √a arcsenh √4ac−b2 + C,

1
√ ln |2ax + b| + C,
∆ = 0, a > 0; , ∆ = b2 − 4ac
 a1
 √
arc sen √2ax+b + C, ∆ > 0, a < 0;...