Interes Compuesto Ecuaciones Diferenciales
Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos losperiodos anteriores (Blank, 1999).
Entonces, en cada periodo de composición la tasa de intereses es r/n y se tienen nt periodos de composiciones en t años, de manera que el valor de la inversión es:A(1+rn)nt
Si hacemos que n→∞ , entonces componemos el interés en forma continua y el valor de la inversión será:
limn→∞ A01+rnrnrt
A0limn→∞ 1+rnmrt (Donde m=r/t)
At= A0ert
Derivando seobtiene
dAdt=rA0ert=rA(t)
(Stewart, 2002)
PROBLEMA
-Si P (t) es la cantidad de dinero de una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés anual de r% compuesto continuamente, entoncesdPdt=r100P, t en años
Suponga que el interés es de 5% anual, P (0)=$1000 y que no hay retiros.
a) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 2 años?
b) ¿En que momento tendrála cuenta $4000?
c) Si se agregan $1000 a la cuenta cada 12 meses, ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 312 años?
SOLUCION
Para hallar la ecuación que nos permita determinar la cantidadde dinero después de un tiempo t
1) Definir variables
r= Tasa de interés anual.
P= Cantidad de dinero.
t= tiempo transcurrido.
dPdt= Cantidad de dinero debido al tiempo transcurrido.2) Resolver la ecuación diferencial dada anteriormente dPdt=r100P, t en años utilizando el método de variables separables.
dP=r100Pdt 1 S.V. Forma diferencial
dPP=r100dt(2)
1PdP=r100dt 3 Integrar en ambos lados
lnP= r100t+C1 (4)
P=er100t*C ;C=ec (5) Propiedades delogarítmicas y solución general ecuación.
P=er100t*C Solución general.
1000= e5100(0)*C (6) Condición inicial P(0)=1000 para despejar C.
C = 1000
P=1000*er100t Solución particular....
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