Interpolacón, analisis numerico

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* INTRODUCCIÓN
Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El método más común empleado para este propósito es la interpolación polinomial.
Recuérdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:
| | | (1) |
Para n + 1 puntos, existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo,hay sólo una línea recta (es decir un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos. El polinomio de interpolación consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular los valores intermedios.
Aunque existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos, existen unagran variedad de fórmulas matemáticas mediante las cuales se puede expresar este polinomio. En esta unidad se estudian dos técnicas alternativas que están bien condicionadas para implementarse en una computadora. Estos son los polinomios de Newton y de Lagrange.
* POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
* INTERPOLACIÓN LINEAL
La fórmula más simple de interpolaciónes la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado Interpolación Lineal, se muestra en la figura 1.
Fig. 1 |

Usando triángulos semejantes, se tiene:
| | | (2) |
Que se puede reordenar como:
| | | (3) |
La cuál es la fórmula de interpolación lineal. La notación f1(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese queademás de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término [f(X1) - f(X2)] / (X1 - X2) es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre más pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta será la aproximación.
EJEMPLO
Calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando interpolación lineal.
Primero, llévese a cabo loscálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.7917595.
Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde ln 1 a ln 4 = 1.3862944.
Nótese que el valor real de ln 2 = 0. 69314718
SOLUCIÓN:
Evaluando la fórmula de interpolación lineal (3) de X = 1 a X = 6 da:

La cual representa un error porcentual de e% = 48.3 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 1 a X = 4da:

Por lo contrario, usando el intervalo más pequeño reduce el error relativo porcentual a e% = 33.3%.
* INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
El error en el ejemplo anterior se debe a que se aproxima a una curva mediante una línea recta. Por consiguiente, una estrategia que mejora la aproximación es la de introducir cierta curvatura en a línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres puntoslo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:
| | | (4) |
Nótese que aunque la ecuación (4) parezca diferente de la ecuación general de un polinomio (1), las dos ecuaciones son equivalentes.
Esto se puede demostrar si se multiplican los términos de la ecuación (4) yobtener:
| | | (5) |
o, agrupar términos:
| | | (6) |
en donde:
| | | (7) |
De esta manera, las ecuaciones (1) y (4) son fórmulas alternativas equivalentes del único polinomio de segundo grado que une a los tres puntos.
Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para b0, se usa la ecuación (4) con X = X0, y se obtiene
b0 = f(X0) | || (8) |
sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (4) y evaluando en X = X1 se obtiene:
| | | (9) |
Y por último, las ecuaciones (8) y (9) se sustituyen en la ecuación (4), y se evalua ésta en X = X2 y se obtiene:
| | | (10) |
Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aún representa la pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los...
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