Interpolacion de newton

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INTERPOLACIÓN DE NEWTON

El proceso de interpolación permite encontrar un polinomio que pase exactamente por los puntos dados inicialmente, para ello es necesario tener en cuenta el siguienteteorema, Teorema Fundamental del Algebra Dados n + 1 puntos diferentes en el plano cartesiano, existe un único polinomio de grado n que los interpola. Polinomio Interpolante de Newton Dados , , , , , , ,,…., , n + 1 puntos diferentes en el plano cartesiano, el polinomio de grado n que los interpola es:
0 0 0 1 2 1 0 2 1 1 2

. (1)

..…



Conocido como Polinomio Interpolante de Newton (PIN)Para entender más detalladamente el uso de este polinomio, veamos los diferentes casos que se pueden presentar, desde la elemental posibilidad de tener dos puntos, hasta la generalidad al tener n + 1puntos.

A ) Caso Lineal (n=1) Dados , correspondiente a ellos es , dos puntos diferentes en el plano cartesiano el PIN

0

(2) es decir (3)

si aquí hacemos

, tenemos

y luego

en (2) ,se da que

O sea,

(4) Ejemplo: Construir el polinomio que interpola a P0(3,4) y P1(8,-6) Solución: Es obvio que el polinomio que pasa por a P0y P1 es una línea recta Ahora, de (3) y (4) tenemosque 4 2 Entonces 4 Rta: Verificación
3 8 2 3 2 8

2 2 10 4 6

3

10 10

“Correcto” “Correcto”

B ) Caso Cuadrático (n=2) Dados , , , , tres puntos diferentes en el plano cartesiano,preferiblemente no colineales *1 el PIN correspondiente a ellos es
0 0 1

(5)

Donde, realizando el mismo procedimiento hecho para n=1, se obtiene que
y

(6)

*1 Un conjunto de puntos soncolineales si están contenidos en la misma línea recta, en cuyo caso no es practico este procedimiento cuadrático, sin embargo la ecuación final se reduce a una lineal.

despejando

de (5) , tenemos
0 01

y teniendo en cuenta los resultados de (6)
0 0 1 0

Dividiendo todo por

y aplicando
2 2 0 2 1 0 1 1 0 0

Ahora, si tenemos en cuenta que los subíndices utilizados en cada punto dado...
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