Interpolacion lineal

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INTERPOLACION LINEAL
La interpolación lineal es un caso particular de la Interpolación general de Newton.
Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, y se denota de la siguiente manera:Interpolación lineal de una variable independiente.
Es igual que hacer integrales cerradas.
En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla, en este caso podemos tomar el más próximo al buscado, o aproximarnos un poco más por interpolación, lainterpolación casi siempre nos dará un pequeño error respecto al valor de la función verdadero, pero siempre será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla, veamos como se calcula al valor de la función para un valor de la variable independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolación lineal.

Por la tabla sabemos que:
y
Queremos, pues,saber:

Siendo:

La interpolación lineal consiste en trazar una recta que pasa por (x1,y1) y (x2,y2), y = r(x) y calcular los valores intermedios según esta recta en lugar de la función y = f(x)
Para ello nos basamos en la semejanza de triángulos y esto es:

Despejando, tenemos:

O lo que es lo mismo:

El valor buscado es:


Esto es:


INTERPOLACION DE LAGRANGE
En análisisnumérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio elpolinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.
Dado un conjunto de k + 1 puntos

Donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

De bases polinómicas de Lagrange


Demostración
La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k conEl polinomio en la forma de Lagrange es una solución al problema de interpolación:
Como puede verse fácilmente
1. es un polinomio y es de grado k.
2.
Así, la función L(x) es un polinomio de grado k y

El problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.
Por lo tanto,L(x) es el único polinomio interpolador.
La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, quepuede resolverse inmediatamente.
POLINOMIOS DE HERMITE
Los polinomios de Hermite son un ejemplo de polinomios ortogonales que encuentran su principal ámbito de aplicaciones en mecánica cuántica, sobre todo en el estudio del oscilador armónico unidimensional. Son nombrados así en honor de Charles Hermite.

Los cinco primeros polinomios de Hermite (probabilísticos').

(los "polinomios deHermite probabilísticos") o, a veces, como (los "polinomios de Hermite físicos"):

Estas dos definiciones no son exactamente equivalentes; una es un rescaldado trivial de la otra:
.
Los polinomios físicos pueden expresarse como:


Propiedades
Ortogonalidad
Hn(x) es un polinomio de grado n, con n = 0, 1, 2, 3, .... Estos polinomios son ortogonales con respecto de la función peso...
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