Interpolacion

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INTERPOLACION -REGRESION DE FUNCIONES-
UNIDAD 4 (UNIDAD 3 PARA QUIMICOS)
INTRODUCCION
En el campo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de unexperimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismosvalores evaluando la función obtenida que si evaluásemos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.
Cuando se asocia un error sustancial a los datos, la interpolación polinomial es inapropiada y puede llevar a resultados no satisfactorios cuando se usa para predecirvalores intermedios. Los datos experimentales a menudo son de ese tipo. Una estrategia más apropiada en estos casos es la de obtener una función aproximada que ajuste adecuadamente el comportamiento o la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente con cada punto en particular. Una línea recta puede usarse en la caracterización de la tendencia de los datos sin pasar cobre ningúnpunto en particular. Una manera de determinar la línea, es inspeccionar de manera visual los datos graficados y luego trazar la “mejor” línea a través de los puntos. Aunque este enfoque recurre al sentido común y es válido para cálculos a “simple vista” es deficiente ya que es arbitrario. Es decir, a menos que los puntos definan una línea recta perfecta (en cuyo caso la interpolación seria apropiada),cada analista trazara rectas diferentes.
La manera de quitar esta subjetividad es considerar un criterio que cuantifique la suficiencia del ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la diferencia entre los datos y la curva y el método para llevar a cabo este objetivo es al que se le llama regresión con mínimos cuadrados.

Interpolación LINEAL

Cuando las variaciones dela función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal.

y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)

Sean dos puntos (x1, y1), (x2, y2), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x1<x<x2. Teniendo en cuenta que la ecuaciónde la recta que pasa por esos dos puntos obteniendo la formula de interpolación lineal:

y=y1+y2-y1x2-x1(x-x1)

Determine la temperatura del agua en un estado de P= 0.5 MPa y h=2890 kJ/kg.
500kPa, hf=640.09 KjKg hg=2748 KjKg
Localizamos en la tabla la presión y la entalpia específica obtenemos que:
0.5 MPa |
| T °C | h=KjKg | |
y1 | 200 | 2855 | x1 |
| y=? |2890 | x |
y2 | 250 | 2961 | x2 |

Ejemplo 1.-
Interpolando con la formula de interpolación lineal:
y=y1+y2-y1x2-x1(x-x1)
Sustituyendo en la formula:
y=200°C+250°C-200°CKg2961kJkg-2855.8kJkg 2890 kJkg-2855.8 kJkg

Y obtenemos que:
y=216.25°C, por lo tanto es la temperatura buscada.
0.5 MPa |
| T °C | h=KjKg | |
y1 | 200 | 2855 | x1 |
| y=216.25 | 2890 | x |
y2 | 250 | 2961| x2 |

Ejemplo 2.-
Para el agua determine las propiedades faltantes y las descripciones de la fase en la siguiente tabla.

| T, °C | P, kPa | U, KjKg | X | Descripción de la Fase |
a) | 120.21 | 200 | | 0.6 | Mezcla liquido– vapor saturado |
b) | 125 | 232.23 | 1600 | | Mezcla liquido– vapor saturado |
c) | | 1000 | 2950 | ------- | Vapor sobrecalentado |

a) umez=uf+xufg...
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