Interpolacion

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CAPÍTULO 4. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL
INTRODUCCIÓN En este capítulo trataremos básicamente dos problemas, el primero de los cuales es el siguiente: Problema 1: Dados n + 1 puntosde

R2

(x 0 , y 0 ), (x 1, y1 ),..., (x n , y n )
en los cuales x 0 , x 1 ,..., x n son números distintos, se quiere encontrar un polinomio pn (x) de grado menor o igual que n tal que

pn (xk) = yk , k = 0,1,...,n
Probaremos que un tal polinomio pn (x) siempre existe y además es único. A tal polinomio se le denomina polinomio de interpolación, polinomio interpolante o polinomio decolocación para los puntos (datos) dados. En este contexto los números x 0 , x 1 ,..., x n son llamados nodos. Cuando n = 1, es decir, sólo tenemos dos puntos, el polinomio de interpolación correspondientese denomina también polinomio de interpolación lineal. El caso de mayor interés para nosotros es aquel en el cual yk = f (xk ) siendo f una cierta función de la que posiblemente no se conoce unafórmula explícita, o bien es muy complicada para evaluarla, derivarla, integrarla, hallarle ceros, etc. En este caso el polinomio de interpolación pn (x) puede usarse como aproximación de la función f y, enparticular, para aproximar valores de la función f en puntos intermedios entre los nodos x 0 , x 1 ,..., x n . Nos referiremos a esta manera de aproximar una función dada, mediante un polinomio deinterpolación, como interpolación polinomial; cuando usemos sólo dos nodos, nos referiremos a la correspondiente interpolación como interpolación lineal. En este contexto el polinomio de interpolaciónpn (x) se dirá el polinomio que interpola a la función f en los nodos x 0 , x 1 ,..., x n . El otro problema a tratar es: Problema 2: Dados n + 1 puntos de

R2

(x 0 , y 0 ), (x 1, y1 ),..., (x n ,y n )
en los cuales x 0 , x 1 ,..., x n son números distintos, y dado un entero no-negativo m, con m < n , se trata de encontrar un polinomio pm (x) = a 0 + a1x+...+ am xm

184 MÉTODOS...
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