Interpretacion geometrica de la derivada

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INSTITUTO TECNOLOGICODELOS MOCHIS |
Interpretación geométrica de la derivadaPor:Carrillo Fierro Cecilia AngélicaGonzález Benítez José PabloLópez Cárdenas RocíoMAESTRA:M.C. Lourdes Lorena López Aguilar MATERIA:Calculo DiferencialCARRERA:Ingeniería en Gestión Empresarial |
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INTRODUCCION
Como todos sabemos cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de losincrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua. Esta rama matemática tiene sus formas y sus leyes, y una de sus ramas es el el cálculo diferencial. El cálculo diferencial estudialas variables y cuando estas mismas presentan un incremento. Dentro del cálculo diferencial basándose en ese aspecto del incremento de las variables centran su estudio en las derivas de una función.
En el siguiente apartado hablaremos como es que el gran físico Leibniz llego al descubrimiento del cálculo diferencial, dando la interpretación de geométrica de la derivada tomando en cuenta obasándose en las pendientes de las rectas secantes y tangentes de las funciones.
Al momento de ir avanzando en el material se observara con detalle cómo es que la fórmula general de los cuatro pasos es desarrollada tomando en cuenta los puntos en la recta.
Se detallará a fondo como es que se logra obtener la pendiente de la tangente en base a esta fórmula.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADALa definición fundamental del cálculo diferencial es la siguiente:

“La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando esta tiende a cero.”

Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que tiene derivada.
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro esla diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa por el símbolo ∆x, que se lee “delta x”.
Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo según que la variable aumente o disminuya al cambiar de valor. Así mismo
∆y significa incremento de y,
∆ф significa incremento de ф,
∆f(x) significa incrementode f (x), etc.

LA REGLA GENERAL DE LA DERIVACIÓN
PRIMER PASO: se sustituye la función x por x+∆x, y se calcula el nuevo valor de la función y+∆y.
SEGUNDO PASO: Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene ∆y (incremento de la función).
TERCER PASO: se divide ∆y por ∆x.
CUARTO PASO: Se calcula el límite de este cociente cuando ∆x tiende a cero.
El limite asíhallado es la derivada buscada.

EJEMPLO DE INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Ahora vamos a considerar un teorema que es fundamental en todas las aplicaciones del cálculo diferencial al a geometría. Primero es necesario recordar la definición de la tangente a una curva en un punto P de la misma. Supongamos una secante que pase por P y un punto próximo Q de la curva (figura 1).

(FIGURA 1)Hagamos que el punto Q se mueva sobre la curva aproximándose indefinidamente a P. La secante girara alrededor de P, y su posición limite es, por definición, la tangente a la curva en P. consideremos ahora la grafica de la función f(x), o sea, la curva AB (figura 1) dada por la ecuación:
1) y=f(x)
Procedemos ahora a derivar la función 1) según la regla general y a interpretar cada pasogeométricamente. Para ello escogemos un punto P (x, y) de la curva, y un segundo punto Q (x+∆x, y + ∆y), también de la curva cercana a P.
PRIMER PASO y+∆x=fx+∆x= NQ

SEGUNDO PASO y+∆y=fx+∆x =NQ
- y=fx =MP=NR
∆y=fx+∆x-fx=RQ

TERCER PASO ∆y ∆x =fx+∆x- f(x)∆x=RQMN= RQPR...
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