Intervalos de confianza

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INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL DE VARIANZA CONOCIDA
 
Supongamos que disponemos de una población en la que tenemos una v.a. con distribución N(μ , σ) con σ conocida(de estudios previos, por ejemplo). Obtenemos una muestra de tamaño n y deseamos estimar la media μ de la población.
El estimador puntual de la misma es la media muestral cuya distribución muestral esconocida
[pic]
la cantidad
[pic]
tendrá distribución normal estándar.
Sobre la distribución N(0 , 1) podremos seleccionar dos puntos simétricos -zα/2 y zα/2 , tales que
[pic]
 
[pic]
Figura1: Selección de los puntos críticos para el cáculo del intervalo de confianza.
 
Sustituyendo Z por su valor en este caso particular
[pic]
Despejando la media muestral y la varianza
 
[pic]
 que verifica las condiciones de la definición.
 
 
Así, el intervalo de confianza para la media puede escribirse como
[pic]
en la práctica, de todos los posibles valores de [pic]tenemos uno sólo[pic]y por tanto un único intervalo de todos los posibles para distintas muestras
[pic]
 
La importancia del intervalo de confianza para la estimación está en el hecho de que el intervalo contieneinformación sobre el estimador puntual (valor central del intervalo) y sobre el posible error en la estimación a través de la dispersión y de la distribución muestral del estimador. Observese que elerror en la estimación está directamente relacionado con la distribución muestral del estimador y con la varianza poblacional, e inversamente relacionado con el tamaño muestral.
 
El gráfico siguienteilustra la interpretación del nivel de confianza para el intervalo de confianza para la media de una distribución normal con varianza conocida. Para los distintos posibles valores de la media,representados mediante su distribución muestral, obtenemos distintos intervalos de confianza. La mayor parte incluye al verdadero valor del parámetro, pero el resto no. Concretamente el 95% lo incluye y...
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