Intervalos De Confianza
Páginas: 12 (2783 palabras)
Publicado: 31 de octubre de 2012
Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza.
Indice
1. 2. Introducción......................................................................................................................... 2 Intervalo de confianza para media poblacional. Tamaño de la muestra. ...................... 2 2.1. Intervalo deconfianza...................................................................................................... 2 2.2. Tamaño de la muestra...................................................................................................... 5 2.3. Resumen ............................................................................................................................ 5 3. Intervalo de confianza para una proporción.................................................................... 8
Apuntes realizados por José Luis Lorente (www.joseluislorente.es)
Página 1
1. Introducción.
El problema de la inferencia estadística es el inverso a los temas anteriores, que buscábamos la probabilidad de que ocurran distintas distribuciones planteadas. Ahora se trata a partir de los datos de muestras representativas se inferirán resultados acerca de lapoblación, como por ejemplo estimar el valor de µ (estimación puntual de µ). Por ejemplo si queremos calcular la altura media de todos los escolares, y para ello tenemos una muestra de n=100. ¿qué valor elegimos como el más aproximado a µ?. Si la media de la muestra es de 165cm, podremos afirmar que es “aproximadamente de 165 cm”. Pero no podemos decir que exactamente el valor de µ es de 165cm, puesgeneralmente el valor de la media muestral no es exactamente el mismo que la media poblacional. Es por esto que esta ésta estimación se dice estimación puntual. Los estimadores puntuales sólo dan una idea aproximada del verdadero valor del parámetro a estimar, sin saber como de fiable es tal aproximación. La estimación puntual es poco útil, es mucho más interesante obtener un intervalo dentro del cual setiene cierta confianza (fijada de antemano) de que se encuentre el parámetro que se desee aproximar. Estimar un parámetro poblacional, por ejemplo µ, mediante un intervalo [a,b] con un nivel de confianza 1-α (que se suele dar en tanto por cién) se denomina estimación por intervalo de confianza P(a≤µ≤b)=1-α
2. Intervalo de confianza para media poblacional. Tamaño de la muestra.
2.1. Intervalode confianza Partimos de una población formada por un gran número de elementos y de la que queremos estudiar una variable aleatoria X que sigue una distribución normal N(µ,σ) con media, µ, y desviación, σ, desconocidas. Con el fin de estimar µ se toma una muestra aleatoria simple de tamaño n que nos proporciona una media , que será el estimador puntual de µ. Por el teorema central
del límite(que vimos en el tema anterior) sabemos que la si la población grande, n>30, entonces las medias siguen la ley normal N(µ,σ/ ), de forma que la variable
Apuntes realizados por José Luis Lorente (www.joseluislorente.es)
Página 2
tipificada será z =
xn − µ
σ
n
que sigue distribución normal (N(0,1)). Si nos dicen el nivel , ]. Siendo
de confianza es 1-α, el intervalo de confianzaen Z será: ICZ=[ el valor que cumple P(Z≤ Veámoslo gráficamente: )=1-α/2.
Área=α/2 -zα/2
Área=1-α Área=α/2 0 zα/2
P(z≤zα/2)=1-α+α/2=1-α/2 Para obtener el intervalo de confianza de las medias de x, tenemos que deshacer la tipificación, si z = , y no de Z sólo
xn − µ
σ
n
x n = µ + z·
σ
n
. De esta forma
se cumple que el intervalo [a,b] de confianza de ICZ=[ , ], serán
,equivalente al de z,
a = x + zα / 2 ·
σ
n
, b= x − zα / 2 ·
σ
n
y x por lo que el
intervalo de confianza es entonces: IC=[ x − zα / 2 ·
σ
n
, x + zα / 2 ·
σ
n
] con precisión de 1-α igual a
Siendo el error máximo cometido al estimar µ mediante E= zα / 2 ·
σ
n
. Si n≥30 podemos asumir que σ=s, varianza muestral.
Los valores de zα/2 se encuentran sin...
Indice
1. 2. Introducción......................................................................................................................... 2 Intervalo de confianza para media poblacional. Tamaño de la muestra. ...................... 2 2.1. Intervalo deconfianza...................................................................................................... 2 2.2. Tamaño de la muestra...................................................................................................... 5 2.3. Resumen ............................................................................................................................ 5 3. Intervalo de confianza para una proporción.................................................................... 8
Apuntes realizados por José Luis Lorente (www.joseluislorente.es)
Página 1
1. Introducción.
El problema de la inferencia estadística es el inverso a los temas anteriores, que buscábamos la probabilidad de que ocurran distintas distribuciones planteadas. Ahora se trata a partir de los datos de muestras representativas se inferirán resultados acerca de lapoblación, como por ejemplo estimar el valor de µ (estimación puntual de µ). Por ejemplo si queremos calcular la altura media de todos los escolares, y para ello tenemos una muestra de n=100. ¿qué valor elegimos como el más aproximado a µ?. Si la media de la muestra es de 165cm, podremos afirmar que es “aproximadamente de 165 cm”. Pero no podemos decir que exactamente el valor de µ es de 165cm, puesgeneralmente el valor de la media muestral no es exactamente el mismo que la media poblacional. Es por esto que esta ésta estimación se dice estimación puntual. Los estimadores puntuales sólo dan una idea aproximada del verdadero valor del parámetro a estimar, sin saber como de fiable es tal aproximación. La estimación puntual es poco útil, es mucho más interesante obtener un intervalo dentro del cual setiene cierta confianza (fijada de antemano) de que se encuentre el parámetro que se desee aproximar. Estimar un parámetro poblacional, por ejemplo µ, mediante un intervalo [a,b] con un nivel de confianza 1-α (que se suele dar en tanto por cién) se denomina estimación por intervalo de confianza P(a≤µ≤b)=1-α
2. Intervalo de confianza para media poblacional. Tamaño de la muestra.
2.1. Intervalode confianza Partimos de una población formada por un gran número de elementos y de la que queremos estudiar una variable aleatoria X que sigue una distribución normal N(µ,σ) con media, µ, y desviación, σ, desconocidas. Con el fin de estimar µ se toma una muestra aleatoria simple de tamaño n que nos proporciona una media , que será el estimador puntual de µ. Por el teorema central
del límite(que vimos en el tema anterior) sabemos que la si la población grande, n>30, entonces las medias siguen la ley normal N(µ,σ/ ), de forma que la variable
Apuntes realizados por José Luis Lorente (www.joseluislorente.es)
Página 2
tipificada será z =
xn − µ
σ
n
que sigue distribución normal (N(0,1)). Si nos dicen el nivel , ]. Siendo
de confianza es 1-α, el intervalo de confianzaen Z será: ICZ=[ el valor que cumple P(Z≤ Veámoslo gráficamente: )=1-α/2.
Área=α/2 -zα/2
Área=1-α Área=α/2 0 zα/2
P(z≤zα/2)=1-α+α/2=1-α/2 Para obtener el intervalo de confianza de las medias de x, tenemos que deshacer la tipificación, si z = , y no de Z sólo
xn − µ
σ
n
x n = µ + z·
σ
n
. De esta forma
se cumple que el intervalo [a,b] de confianza de ICZ=[ , ], serán
,equivalente al de z,
a = x + zα / 2 ·
σ
n
, b= x − zα / 2 ·
σ
n
y x por lo que el
intervalo de confianza es entonces: IC=[ x − zα / 2 ·
σ
n
, x + zα / 2 ·
σ
n
] con precisión de 1-α igual a
Siendo el error máximo cometido al estimar µ mediante E= zα / 2 ·
σ
n
. Si n≥30 podemos asumir que σ=s, varianza muestral.
Los valores de zα/2 se encuentran sin...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.