Intervalos Deconfianza Y Prueba De Hipótesis Para Dos Parámetros

CAPÍTULO 8
INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS PARÁMETROS
8.1 Intervalos de confianza para una diferencia de medias, una diferencia de proporciones y un cociente de varianzas

Existen ocasiones en que nuestro estudio involucra dos poblaciones y necesitamos compararlas por medio de un intervalo de confianza. Para hacer esto, tomamos una muestra de cada una de las poblacionesy, dependiendo del tipo de medición que efectuemos y de las características del estudio, construimos intervalos de confianza para una diferencia de dos medias, o una diferencia de proporciones, o bien, un cociente de varianzas. Iniciaremos con el caso de una diferencia de medias, donde las muestras pueden ser independientes o dependientes.

8.1.1 Intervalos de confianza para una diferencia demedias (muestras independientes).
El procedimiento básico para construir intervalos de confianza para una diferencia de medias, cuando las muestras son independientes, es el siguiente: 1. Partimos de dos poblaciones que etiquetamos como ‘población I’ y ‘población II’, las cuales siguen una distribución normal. 2. Seleccionamos una muestra aleatoria de tamaño n1 de la población I y, de maneraindependiente, escogemos una muestra de tamaño n 2 de la población II. 3. Calculamos las medias muestrales. En caso de no conocer las varianzas 2 2 poblacionales σ 12 , y σ 2 , calculamos las varianzas muestrales s12 y s 2 . Consideraremos sólo el caso en que las varianzas poblacionales son desconocidas, pero podemos suponerlas iguales. 4. Para construir el intervalo de confianza para la diferencia demedias poblacionales, 2 cuando conocemos las varianzas σ 12 y σ 2 , utilizamos el estadístico

Z=

(X

1

− X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )

σ 12
n1

+

2 σ2

,

n2

el cual sigue una distribución normal estándar. Estadística 101

Capítulo 8: Intervalos de Confianza y Prueba de Hipótesis para dos parámetros

5. Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero podemossuponerlas 2 homogéneas, utilizamos en su lugar los estimadores S 12 y S 2 , y un estimador de ambas varianzas poblacionales será
2 Sp =

(n1 − 1)S 12 + (n 2 − 1)S 22
n1 + n 2 − 2

.

El estadístico que usaremos, en este caso, para construir el intervalo de confianza para la diferencia de medias es

T=

(X

1

− X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )

(S )
2 p

1 1 + n1 n 2

,

que sigue unadistribución t de Student con n1 + n 2 − 2 grados de libertad. 6. En consecuencia, para deducir el intervalo del 100(1 − α )% de confianza para la diferencia de medias, en poblaciones normales, con varianzas conocidas y muestras independientes, partimos de que

P(− z1−α / 2 ≤

(X

1

− X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )

σ

2 1

n1

+

σ

2 2

≤ z 1 −α / 2 ) = 1 − α ,

n2

y siguiendo lospasos que se describieron en capítulo 6 para la deducción del intervalo de confianza para una media, obtenemos el intervalo de confianza siguiente:

P(( X 1 − X 2 ) − z1−α / 2

σ 12
n1

+

2 σ2

n2

≤ µ 1 − µ 2 ≤ ( X 1 − X 2 ) + z1−α / 2

σ 12
n1

+

2 σ2

n2

) = 1 − α.

Para el caso de varianzas desconocidas, pero supuestas homogéneas, partimos de la ecuación

P(−t 1−α/ 2, n1 + n2 − 2 ≤

(X

1

− X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )
2 Sp

1 1 + n1 n 2

≤ t1−α / 2, n1 + n2 − 2 ) = 1 − α ,

102

Gudelia Figueroa Preciado – Marco Antonio Valencia Arvizu

Capítulo 8: Intervalos de Confianza y Prueba de Hipótesis para dos parámetros

y llegamos, finalmente, a que el intervalo del 100(1 − α )% de confianza para µ 1 − µ 2 está dado por
2 P(( X 1 − X 2 ) − t1−α /2, r S p

1 1 + n1 n 2

2 ≤ µ 1 − µ 2 ≤ ( X 1 − X 2 ) + t1−α / 2, r S p

1 1 + n1 n 2

) = 1−α,

donde r = n1 + n 2 − 2 . Por ejemplo, se desea comparar el consumo promedio de agua, por mes, en dos colonias de una ciudad. Por registros en archivos y estudios previos, se sabe que el consumo de agua en la colonia I se distribuye normalmente con una desviación estándar de 5 metros...